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第一章 集合與常用邏輯用語、不等式

第1講集合及其運算
第2講 常用邏輯用語 5
第3講不等式及其性質·… 8
第4講基本不等式（課堂延伸:柯西不等式與權方和不等式） 10
第5講一元二次不等式·.· 14

考情動態速遞

核心考向

·集合的交并補運算/P3變式4 ·利用等差數列的性質判斷 充分、必要條件/P6例1

創新考法

結合圓的標準方程利用基本不等式求最值/P11變式3

第二章 函數

第6講函數的概念及其表示 18
第7講 函數的單調性與最值(課堂延伸:對勾函數與飄帶函數) 21
第8講函數的奇偶性、對稱性與周期性··· 25
第9講冪函數與二次函數·.·· 29
第10講指數與指數函數·… 32
第11講對數與對數函數· 35

重難點突破 ^{1} 指、對、冪比較大小問題 38

第12講 函數的圖象 40
第13講 函數與方程 43
第14講 函數模型及其應用 46

八省考情

重難考點

已知函數的零點個數求參數范圍/P45例3

創新考法

以國民收入支配和國家經濟發展為背景建立函數模型/P48變式2

第三章 一元函數的導數及其應用

第15講導數的運算及其幾何意義 49
第16講導數與函數的單調性· 53
第 17講導數與函數的極值、最值(課堂延伸:三次函數) 57
第18講函數中的構造問題 62

重難點突破2指對同構問題 65

重難點突破3利用導數研究恒（能）成立問題(課堂延伸:洛必達

核心考向

·曲線過某點的切線方程/ P51例5
·分類討論含參函數的單調 性/P55例3

重難考點

利用數形結合，根據函數零點個數研究參數取值范圍問題/P75例2

創新考法

重難點突破4利用導數證明不等式問題 71
重難點突破5利用導數研究函數零點問題 74
拔高點突破 ^{1} 極值點偏移問題 77

構造函數，利用導數解決三角形問題/P63變式2

第四章 三角函數與解三角形

第19講任意角和弧度制、三角函數的概念·.·· 80
第 20講同角三角函數的基本關系與誘導公式 84
第21講兩角和與差的正弦、余弦和正切公式·. 87
第22講簡單的三角恒等變換·… 90
第23講三角函數的圖象與性質 93
第24講函數 y=A\sin\big(\omega x+\varphi\big) 的應用 97

·三角函數弦切互化問題/P85例2
·根據正、余弦定理判斷三角形的形狀/P103例2

核心考向

重難點突破6三角函數中 \omega 的取值問題 100

重難考點

·根據最值(值域）求解 \omega 的取值范圍/P100變式2·利用正、余弦定理解決三角形中的角平分線問題/P105例4

第 25講正弦定理、余弦定理(課堂延伸：射影定理) 102
第26講解三角形應用舉例·.· 107

創新考法

數形結合解決直線與三角函數圖象的交點個數問題/P92例5

第五章 平面向量、復數

核心考向

·根據向量共線求參數的值/P116變式3
·利用向量數量積求向量的模/P119例3
第27講平面向量的概念及線性運算 110
第 28講平面向量基本定理及坐標表示(課堂延伸：等和線定理)114
第29講平面向量數量積(課堂延伸:極化恒等式) 117
第 30講平面向量的綜合應用(課堂延伸:三角形的四心與奔馳定理)121
第31講復數…·· 124

重難考點

三角形的垂心與奔馳定理的綜合運用/P123變式4

創新考法

向量與動點軌跡結合求最值問題/P122變式3

第六章 數列

八省考情

第32講數列的概念和性質· 127
第33講等差數列 130

等比數列的判定與證明不等式 問題/P135變式2[八省（區)聯 考2025 * 16]

第34講等比數列 133
重難點突破 ^7 構造法求數列通項 137
第35講數列求和 139
第36講數列的綜合應用 142
拔高點突破 ^2 特殊數列與子數列問題 145
拔高點突破3數列的新定義問題 147

核心考向

利用等差數列項的性質求項/P132例3

重難考點

以太極衍生原理為背景考查數列奇偶項問題/P146變式3

創新考法

數列的新定義與概率的綜合應用/P148變式1

第七章 立體幾何與空間向量

第37講基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積(課堂延伸：
祖原理) 149
重難點突破 8 內切球、外接球、棱切球問題 154
第38講空間點、直線、平面之間的位置關系 157
第39講 空間直線、平面的平行 161
第40講 空間直線、平面的垂直 164
第41講 空間向量的概念與應用 167
第42講空間角與空間距離 172
重難點突破 {\mathfrak{g}} 空間中的截面、翻折及探索性問題 179
拔高點突破 ^4 空間中的動態問題（含八省聯考題型創新解讀）·182

核心考向

·以蒙古包為例考查幾何體的表面積/P152例2
·利用向量法證明線面平行及線線垂直/P171變式4
·利用幾何法求直線與平面所成角/P175例2
·利用向量法求平面與平面夾角的余弦值/P176變式3

重難考點

·利用翻折前后各量之間的變化關系判斷空間中的位置關系/P179例2·根據空間位置關系求動點軌跡的長度/P182變式2

第八章 解析幾何

第43講直線方程· 185
第44講 兩條直線的位置關系· 188
第45講 圓的方程(課堂延伸:阿波羅尼斯圓) 191
第46講 直線與圓、圓與圓的位置關系 193
第47講 橢圓(課堂延伸:蒙日圓) 196
第48講 雙曲線 201
第 49 講拋物線(課堂延伸:阿基米德三角形) 205

八省考情

直線與拋物線的位置關系/P207變式3[八?。▍^）聯考2025·9]

核心考向

·直線與圓相交弦的最值問題/P195例4
·利用直接法求動點軌跡方程/P209例1

重難點突破 10 曲線的軌跡方程問題 209

第50講直線與圓錐曲線的位置關系 211
重難點突破 ^{11} 圓錐曲線中的定點、定值、定線問題·.·....·· 214
拔高點突破5圓錐曲線中的求值、證明與探索性問題··· 217
拔高點突破 6 圓錐曲線中的最值、范圍問題 220

重難考點

·橢圓中的最值問題/P199例5
·圓錐曲線中動點在定直線上的問題/P216例3

創新考法

以阿基米德三角形為背景考查拋物線的切線方程/P208例5

第51講兩個計數原理 222
第52講排列組合 225
第53講二項式定理 228

核心考向

·定序的排列問題/P226例2·二項展開式中的特定項問題/P228例1

重難考點

二項式系數的最值問題/P230例5

第十章 概率與統計

第54講隨機事件與概率· 231
第55講 事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式··· 235
第56講 離散型隨機變量及其分布列、均值與方差· 238
第57講 二項分布、超幾何分布與正態分布 242
第58講 隨機抽樣 247
第59講 用樣本估計總體 251
第60講 成對數據的統計分析· 256
第61講概率與統計的綜合應用 262

八省考情

列聯表、獨立性檢驗/P261變式4[八?。▍^）聯考2025 * 15]

核心考向

·相互獨立事件發生的概率/P236例2·根據頻率分布直方圖求解百分位數/P254變式3

重難考點

非線性回歸模型的應用/ P259例3

創新考法

以新能源汽車為背景考查概率與數列的綜合問題/P265變式1

作業本（P267-P432）答案及詳解（P433-P632）

第

講集合及其運算

溫習 知識梳理

1.元素與集合

(1)集合中元素的三個特征：

(2)元素與集合的關系：
若 a 是集合 A 的元素，就說 ^{a} 屬于集合 A ,記作：；若 ^{ a} 不是集合 A 的元素，就說 ^{a} 不屬
于集合 A ,記作：

(3)集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法，(4)集合的分類：按元素的個數分為 和

(5)常用數集的記法：

(6)全集與空集：

不含任何元素的集合叫作空集，記作一個集合含有所研究問題中涉及的所有元素，稱這個集合為全集，記作

2.集合間的基本關系

3.集合的基本運算

常用結論

1.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。2.若一個集合含有 n 個元素，則它的子集有 2^{n} 個，非空子集有 \left( 2^{n}-1 \right) 個，真子集有 \left( 2^{n}-1 \right) 個，非空真子集有 (2^{n}{-}2) 個.\left|\begin{array}{l}{3,\left(1\right)A\subseteq\left(A\cup B\right);B\subseteq\left(A\cup B\right);A\cup A=A;A\cup\emptyset=\left|}\\ {A\{A\cup B=B\cup A\};A\cup B=B\LeftrightarrowA\subseteqB,}\\ {\left(2\right)\left(A\cap B\right)\subseteq A;\left(A\cap B\right)\subseteq B;A\cap A=A;A\cap\emptyset=}\\ {\left(\emptyset;A\cap B=B\cap A;A\cap B=A\LeftrightarrowA\subseteqB,}\\ {\left(3\right)\complement_{v}U=\emptyset;\complement_{v}\emptyset=U;\complement_{v}(\complement_{v}A)=A;A\cup\left(\complement_{v}A\right)=U;}\\ {A\cap(\complement_{v}A)=\emptyset.}\end{array}\right| 4.德·摩根定律：\begin{array}{r}{\left\{ \mathsf{\widehat{\mathsf{G}}}_{U}(A\cup B)=( \mathsf{\widehat{G}}_{U}A)\cap( \mathsf{\widehat{G}}_{U}B) ; }\\ { \mathsf{\widehat{\mu}}_{U}(A\cap B)=( \mathsf{\widehat{G}}_{U}A)\cup( \mathsf{\widehat{G}}_{U}B) .}\end{array}

基礎自測

1.判斷下列說法是否正確（在括號內打“ \vee ”或"x'

(1)集合 \left\{ y \right|\}y=2x ,x\in\mathbf{R} \right\} 與集合 \mid\left(\;x ,y \right)\mid y=2x ， x\in\mathbb{R}\} 表示同一集合.

(3)集合/1,2,3,5}的真子集的個數為15.

（4）設 U=\mathbf{R} ,A=\left\{x \left| {(x-1)/(x+1)}>0\right.\right\} \stackrel{\wedge}{?}_{U}A=\left\{\left.x\;\right|(x-1)/(x+1)<=slant 0\bigm\}=\{ x |-1<x<=slant1 \} .

2.已知全集 U=\{\:x\in\mathbf{N}\:|\:x<=7\:\} A=\{ 2,3 ,6 ,7 \}\;, B= 2,3,4,5,則 A\cap(\complement_{U}B)=

A. 6,7} B.{1,7} C. 1,6} D.{1,6,7}

3.[北師版必修一P12A組T5 改編］滿足條件{1,2\nmid\mp A\subseteq\{ 1 ,2 ,3 ,4 \} 的集合 A 的個數是（）

A. 1 B.2
C.3 D.4

4.[北師版必修一P12A組T10改編]已知集合 M= 1 N{=}\{a ,a^{2}\} ,且 M\cup N{=}N 則實數 a=

精講 考點剖析

考點1 元素與集合間的關系

例1（1)［四川樂山2024三模]已知集合 A=\left\{\begin{array}{l l}{x ,}\end{array}\right. y\wedge^{2}+y^{2}<=slant10 ,x\in\mathbf{N}_{+} ,y\in\mathbf{N}_{+} \} ,則集合 A 的元素個數為

A.9 B.8
C.6 D.5

（2）［江西新余2024模擬］已知數集 A ,B 滿足 A\cap B=\{ 1 ,2 ,3 \} A\cup B=\{ 1 ,2 ,3 ,4 ,5 \} ，若 4\not\in A

則一定有

A,5\in A B. 5 ± A \operatorname{C}.4\in B D.4B

課堂記錄：

變式1（1)［江蘇南通2025開學考］若 \boldsymbol{x}\in\mathbf{N} ，集合 A=\{ 0 ,1 ,2 ,3 \} B=\{ x ,x^{2} ,3 ,4 \} ，則 A\cap B 滿足

A. 0\in\left(A\cap B\right) B.~l~\in\left(A\cap B\right) C. 2\notin\left(A\cap B\right) D. 3\not\in(A\cap B)

(2)已知集合 A=\left\{ \left( x ,y \right) | x +y=8 ,x ,y\in\mathbf{N}_{+} \right\} ， B= \left\{ ( x ,y )\;|\;|x{-}y | {>}2 ,x ,y\in\mathbf{R} \right\} ，則 A\cap B 中元素的個

考點2 集合與集合間的關系

A.2 B.3 C.4 D.5

方法點透

利用集合元素的限制條件求參數的值或確定集合中元素的個數時，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性.

角度1集合的關系

例2［山西大同2025開學考]已知集合 A=\{ x \vert x(2-x)>0\} B=\{ x | {√(x+1)}>=slant1 \} ，則

\qquad\qquadA.~A\cap B=\emptyset\qquad\qquad\qquadB.~A\cup B=\mathbf{R} C.BCA D.ACB

課堂記錄：

A.2 B.1 2
C. D.-1 3

課堂記錄：

變式3→［江蘇常州2024三模］已知集合 A=\{ x \vert -1<=slantx+1<=slant6\} B=\left\{ x | m{-} 1{<}x{<}2m{+} 1 ,m\in\mathbf{R} \right\} ，若 A\cup B{=}A ，則實數 m 的取值范圍為

變式2>[廣東佛山2025月考]滿足集合1,2|為 M 的子集且 M\subseteq\{1,2,3,4,5\} 的集合 M 的個數是(

A.6 B.7
C.8 D.15

角度2 已知集合的關系求參數的值（范圍）

例3[全國新課標 \mathbb{I} 2023*2 ] 設集合 A=\{0,-a\} ， B=\{ 1 ,a{-}2 ,2a{-}2 \} ,若 A\subseteq B ，則 a=

方法點透·

1.已知兩個集合間的關系求參數，關鍵是將兩個集合間的關系轉化為元素或區間端點間的關系，進而轉化為參數滿足的關系.合理利用數軸、Venn圖幫助分析及對參數進行討論.確定參數所滿足的條件時，一定要把端點值代入進行驗證，否則易增解或漏解.
2.當 B 為A的子集時，若未說明 B 非空，則應考慮 B 為空集的情況.

考點 3 集合的基本運算

角度1集合的基本運算

例4[全國新課標 ~I~2024*1] 已知集合 A=\{x\vert-5< x^{3}<51 ， B=\{ -3 ,-1 ,0 ,2,3 \} ,則 A\cap B=

A. \left\{{ -1,0}\right\} B. 2,3}C. \left\{-3,-1,0\right\} D. -1,0,2}課堂記錄：

變式4［[全國甲（理) 2023*1] 設全集 \boldsymbol{U}=\mathbf{Z} ,集合 M=\left\{ x | x=3k+1 ,k\in{\bf Z} \right\} ,N=\left\{ x | x=3k+2 ,k\in{\bf Z} \right\} . 則 \big\upzeta_{\upsilon}(M\cup N)=

A. \left\{ x \right|x=3k ,k\in\mathbf{Z} \right\} B. \left\{ x | x=3k-1 ,k\in\mathbf{Z} \right\} C. \left\{ x | x=3k-2 ,k\in\mathbf{Z} \right\} D.O

角度2 已知集合的運算求參數的值（范圍）

例5[江蘇南京2025開學考］已知集合 A=\{x\in\mathbf{Z}\} \lvert x\rvert<=slant2\lvert ， B=\{ x | x<=slant a \} ,若 A\cap B 中只有1個元素,則實數 ^{a} 的取值范圍是

A.[-2,-1] B.[-2,-1)C.(-1,0) D.[-1,0]課堂記錄：

變式5+已知集合 A=\{ x \vert \left( x+1 \right) * \left( x-a \right)<=slant0 \} ， B {=} \left\{ x | \left( x+3 \right)\left( x+2 \right)\left( x-1 \right)=0 \right\} ，若 A\cap B\neq\emptyset ,則實數 ^{a} 的取值范圍為

方法點透·

解決集合運算問題的注意點：

1.看元素構成；2.對集合進行化簡，明確集合中元素的特點；3.注意數形結合思想的應用，常見的工具有數軸和Venn圖等.

考點 4 容廳原理的應用

例6市場調查公司為了了解某小區居民在訂閱報紙方面的取向，抽樣調查了500戶居民，調查的結果顯示：訂閱晨報的居民有334戶，訂閱晚報的居民有297戶，其中兩種報紙都訂閱的居民有150戶，則兩種報紙都不訂閱的居民有戶.

課堂記錄：

變式6某班共有學生47人,寒假參加體育訓練，其中參加足球隊的有25人，參加排球隊的有22人，參加游泳隊的有24人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有9人，排球、游泳都參加的有8人,則三項都參加的人數為（）

A.2 B.3
C.4 D.5

方法點透

利用容斥原理先不考慮重疊的情況，把包含于某內容中的所有對象的數目先計算出來,再把計數時重復計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重復.

考點5 集合新定義

例7[河北石家莊二中2025月考］若 x\in A ,且 -x\in A,就稱A是伙伴關系集合，集合 M=\{-2,-1,0 1,2,3的所有非空子集中具有伙伴關系的集合的個數是 (

A.31 B.7 C.3 D.1課堂記錄：

變式7（多選)對任意 {\cal A} ,{\cal B}\subseteq{\bf R} ，記 A{±}B=\{ x | x\in \left(A\cup B\right),x\notin\left(A\cap B\right)\} ,并稱 A{+}B 為集合 A ,B 的 對稱差.例如：若 A=\{ 1 ,2 ,3 \} ， B=\{ 2,3,4 \} ，則

A{+}B=\{1,4\} .下列命題中,為真命題的是(

A.若 {\cal A} ,{\cal B}\subseteq{\bf R} 且 A{+}B=B ,則 A=\varnothing B.若 {\boldsymbol{A}} ,{\boldsymbol{B}}\subseteq\mathbf{R} 且 A{+}B={-} ,則 A=B C.若 {\boldsymbol{A}} ,{\boldsymbol{B}}\subseteq\mathbf{R} 且 \left(A\odotB\right)\subseteqA ,則 A\subseteq B D.存在 {\boldsymbol{A}} ,{\boldsymbol{B}}\subseteq\mathbf{R} ,使得 A\oplus B\neq\complement_{\mathbb{R}}A\oplus\complement_{\mathbb{R}}B

方法點透

解決集合新定義問題，一定要讀懂新定義的本質含義，結合題目所給定義和要求轉化為已學知識。

提示:課后完成《作業本》第1練

講常用邏輯用語

溫習 知識梳理

1.命題

可以 ,用文字或符號表述的陳述句叫作命題.

2.充分條件、必要條件與充要條件的概念

3.全稱量詞和存在量詞

（1)全稱量詞：在命題中，“所有”“任意”這樣的詞叫作全稱量詞，用符號“ ”表示。

（2)存在量詞：在命題中，“存在”“有一個”這樣的詞叫作存在量詞，用符號“ ”表示。

4.全稱量詞命題、存在量詞命題的否定

常用結論

1.命題 p 與它的否定 \neg p 真假性相反.
2.若 p 是 q 的充分不必要條件，則 q 是 p 的必要 不充分條件；若 p 是 q 的必要不充分條件，則 q 是 p 的充分不必要條件.
3.若 x\in A 是 x\in B 的充分條件，則 A\subseteq B ；若 x\in A 是 x\in B 的必要條件，則 A\supseteq B ；若 x\in A 是 x\in B 的充分不必要條件，則 A\subsetneq B ；若 x\in A 是 x\in B 的 必要不充分條件，則 A {\stackrel{style\supset}{\neq}} B
4.全稱量詞命題的否定是存在量詞命題；存在量 詞命題的否定是全稱量詞命題.

基礎自測

1.判斷下列說法是否正確（在括號內打“√”或x'" (1)“至少有一個三角形的內角和是 180° ”是全稱量詞命題. （）(2)已知 p:x>0 ,q:x>1 ，則 p 是 q 的充分不必要條件. （）(3)設 a ,b ,c\in\mathbb{R} ，則 a^{2}+b^{2}+c^{2}=a b+a c+b c 的充要條件是 a=b=c （）(4)已知命題 p ：存在一個四邊形，它的四個頂點不在同一個圓上,則命題 p 是真命題．（）

2.[北師版必修一 P23A 組T3(3)改編]命題“ \exists x\in R,使 x^{2}+x-1\neq0^{,\ast} 的否定是

A.3 \boldsymbol{x}\in\mathbf{R} ，使 x^{2}+x-1=0 B.不存在 x\in\mathbf{R} ，使 x^{2}+x-1\neq0 C. \forall x\notin\mathbf{R} ,使 x^{2}+x-1=0 D. \forall x\in\mathbf{R} ，使 x^{2}+x-1=0

3.［北師版必修－P23B組T1（1)改編］“方程 x^{2} a x+1=0 有實根”是“ a>=slant2 ”的 (

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

4.已知集合 A=\{ 1 ,3 ,a^{2} \} B=\{ 1 ,a+2 \} ，若“ x\in A ” 是“ x\in B ”的必要不充分條件，則實數 \footnote{T w o t y p i c a l a p p l i c a t i o n s c e n a r i o s f o r t h e p r o p o s e d s y s t e m a r e h e a l t h c a r e,a n d l o g i s t i c s a n d w a r e h o u s i n g,i n w h i c h m u l t i p l e I o T d e v i c e s a r e d e p l o y e d c l o s e t o t h e r e c e i v e r a n d t h e t i m e d e l a y b e t w e e n t h e d i r e c t l i n k a n d b a c k s c a t t e r l i n k i s t h u s n e g l i g i b l e.} 的值是

精講 考點剖析

考點1 充分條件與必要條件

角度1充分、必要條件的判斷

例1[東北三省2025聯考］已知 \{ a_{n} \} 是無窮數列，a_{1} {=} 3 ,則“對任意的 m ,n\in\mathbf{N}_{+} ,都有 a_{m+n}=a_{m}+a_{n} 是“ \left\{a_{n}\right\} 是等差數列”的

A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件

課堂記錄：

變式1[重慶2024月考]已知 p:x^{2}{-}2x{-}3{<}0 ,那么命題 p 的一個必要不充分條件是

A. -1<x<3
B. _{0<x<2}
C. -3{<}x{<}3
D. -2{<}x{<}1

+方法點透

充分條件、必要條件的常用判斷方法

(1)定義法：由 p{\Rightarrow}q ,q{\Rightarrow}p 進行判斷； (2)集合法：根據 p ,q 對應的集合之間的包含關 系進行判斷.

角度2根據充分、必要條件求參數的值（范圍）

例2[江蘇揚州2025開學考］若不等式 \vert\ x+1\vert<a 成立的充分條件是 0<x<4 ，則實數 a 的取值范圍是

A.(-∞∞ ,-1] B. \left( -∞ ,5 \right] C.\left[-1,+∞\right] 0.[5,+∞]

課堂記錄：

變式2［福建寧德2025模擬]甲、乙、丙、丁四位同學在玩一個猜數字游戲，甲、乙、丙共同寫出三個集合： A=\{ x | 0{<}\Delta x{<}2 \} ， B=\{\;x\;|-3<=slant x<=slant5\;\} ， C= \left\{x\mid0{<}x{<}{(2)/(3)}\right\} }，然后他們三人各用一句話來正確描述“ \Delta "表示的數字，并讓丁同學猜出該數字.以下是甲、乙、丙三位同學的描述：甲：此數為小于5的正整數;乙：“ x\in B ”是“ x\in A ”的必要不充分條件；丙：“ x\in C ”是“ x\in A ”的充分不必要條件，則\Delta ”表示的數字是 ）

A.3或4 B.2或3
C.1或2 D.1或3

方法點透

根據充分條件、必要條件求參數的解題策略

(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參數的不等式(組)，最后進行求解；(2)要注意對區間端點值的檢驗.

角度1量詞命題的否定與真假判斷

例3（1)[廣東中山2025模擬]命題“3 x>0 x^{2}> x^{3} ”的否定是

A. \forall x{>}0 ,x^{2}{>}x^{3}
B. \forall x{>}0 ,x^{2}{<=slant}x^{3}
C. \forall x<=0 ,x^{2}<=slantx^{3}
D. \exists x{>}0 ,x^{2}{<=slant}x^{3}

(2)[全國新課標 \mathbb{I}\otimes24*2 ] 已知命題 p\colon\forall x\in \mathbf{R} , | x+1 | {>} 1 ;命題 q\colon\exists x{>}0 ,x^{3}=x. 則（)

A. p 和 q 都是真命題B. \neg\;p 和 q 都是真命題C. p 和 \neg q 都是真命題D. \neg p 和 \neg q 都是真命題

課堂記錄：

變式3（1)[山東青島2024三模]已知命題 p \forall\:x\in\left(0,(π)/(2)\right)\:,\sin\:x<x \neg p

A. | x\notin\left(0,{(π)/(2)}\right) ,sin x>xB. 3 x\in\left(0,{(π)/(2)}\right) , in >xC. \mid x\not\in\left(0,{(π)/(2)}\right) ,sin x≥xD. 3 x\in\left(0,{(π)/(2)}\right) ,sin x≥x(2)（多選）[廣東深圳2024期末]下列命題中為真命題的有

A. \forall x{>}0 ,x{+}(1)/(x){>=slant}2
B. \exists x{<}0 ,x{+}(1)/(x){>}{-}2 x
C.Vx>0 1+x 2 x 1
D.3x<0, 1+x 2

方法點透

1.對含有一個量詞的命題進行否定，先改變量詞，再否定結論.
2.要判斷全稱量詞命題“ \forall x\in M,p\left( x \right) ”是不是真命題，需要對集合 M 中的每一個元素 x ,p\left( x \right) 都成立；要判斷存在量詞命題“ \exists x\in M,p( x ) ”是不是真命題，只需要在集合 M 內找到一個元素_x ，使得 p(x) 成立即可.

角度2 已知命題的真假求參數

例4［陜西西安2025摸底考]若命題“3 x\in[-1 3]， x^{2}-2x-a<=slant0^{\prime} 為真命題，則實數 a 可取得的最 小整數值是 L

A. -1 B.0 C.1 D.3

課堂記錄：

變式4?[遼寧部分重點中學協作體2024三模]若“ \exists x\in\left( 0,+∞ \right) ，使 x^{2}-a x+4<0^{\prime} 是假命題，則實數 ^{a} 的取值范圍為

方法點透

已知命題的真假求參數的范圍，可以直接由命題的含義，利用函數的最大(小)值求參數的取值范圍；利用 p 與 \neg p 的關系，轉化成命題的真假求參數的取值范圍.

提示:課后完成《作業本》第2練

講不等式及其性質

溫習 知識梳理

1.比較兩個實數的基本事實

a-b>0\leftrightarrowa\phantom{(1)/(b)}b;a-b=0\Longleftrightarrowa=b\;;a-b<0\Longleftrightarrowa b

2.等式的性質

(1)如果 a=b ,那么(2)如果 a=b ,b=c ,那么(3)如果 a=b ,那么 a± c=b± c (4)如果 a=b ,那么 a c=b c (5)如果 a=b ,c\neq0 ,那么 {(a)/(c)}={(b)/(c)}.

3.不等式的性質

性質1如果 a{>}b ,且 b>c ,那么
性質2 如果 a{>}b ,那么
性質3 如果 a{>}b{ ,}c{>}0 ,那么如果 a>b ,c<0 ,那么
性質4如果 a{>}b{ ,}c{>}d ,那么
性質5 如果 a>b>0 ,c>d>0 ,那么如果 a>b>0 ,c<d<0 那么
性質6當 a>b>0 時， sqrt[n]{a}>sqrt[n] ,其中 n\in\mathbf{N}_{+} ,n>=slant2

常用結論

1.倒數的性質

2.分數的性質
若 a{>}b{>}0 ,m{>}0 ，則
\begin{array}{r}{\left|\ (1)(b)/(a)<(b+m)/(a+m),(b)/(a)>(b-m)/(a-m)( b-m>0) ;\right.}\\ {\left.(a)/(b)>(a+m)/(b+m),(a)/(b)<(a-m)/(b-m)( b-m>0).\right.}\end{array}

基礎自測

1.判斷下列說法是否正確（在括號內打“√”或“×”).

(1)若 (a)/(b){>}1 ,則 a{>}b
(2)若 a c=b c ,則 a=b
(3) a{>}b{\Leftrightarrow}a c^{2}{>}b c^{2}
(4)若 a{>}b{>}c ，則 (1)/(a){<}(1)/(b){<}(1)/(c) 一

2.（多選）［北師版必修一P26T6改編］已知 a>b>0 c{>}d{>}0 ,則下列不等式恒成立的有

A.~a{-}d{>}b{-}c B.ac>bd C. (a)/(b){>}(c)/(d) D. -(d)/(a){>}-(c)/(b)

3.（多選）已知實數 x ,y 滿足 1<x<6 ,2<y<3 ,則

A.3<x+y<9 B. -1<x-y<3 C.2<xy<18 D.(1)/(3){<}(x)/(y){<}3

4.［北師版必修一P26T5改編］已知 a\in\mathbf{R} ，則 a^{2}+ 3a-1 2a-2. （填“ > ”或“ <

精講 考點剖析

考點1 數（式）的大小比較

例1若 a<0 ,b<0 ,則 p=(b^{2})/(a)+(a^{2})/(b) 與 \scriptstyle q = a + b 的大小關系為

A.p<q B. p≤q C. p>q D. p>=slantq

課堂記錄：

變式1設 a {=} 0,\;1e^{0. 2} 1c=0.2e,則下列選項

考點2 不等式的基本性質

例2（1)[北京師范大學第二附屬中學2025開學考]若 a{<}b 且 a b\neq0 ,則下列不等式中一定成立的是

A. {(1)/(a)}>{(1)/(b)} \scriptstyle{~B}.{(b)/(a)}>1 C. a^{3}{<}b^{3} D.~|\boldsymbol{a}|<|\boldsymbol|

(2)(多選）設 b>a>0 ,c\in\mathbb{R} ,則下列不等式中正確的是

a^{(1)/(2)}{<}b^{(1)/(2)} B. {(1)/(a)}-c<{(1)/(b)}-c D. ac2<bc2

課堂記錄：

考點3 不等式性質的綜合運用

例3［江蘇南通2025模擬]設 x ,y 為實數，且滿足3<=slantx y^{2}<=slant8 ,4<=slant(x^{2})/(y)<=slant9 ，則 |(x^{3})/(y^{4)} 的最大值為

A.27 B.24 C.12 D.32

課堂記錄：

變式3［福建寧德2025開學考］已知 -1<x-y<4 ， 2<x+y<3 ,則 3x+y 的取值范圍是

正確的是A. c{<}b{<}a B.b<a<c C.b<c<a D.a<c<b

+方法點透

比較大小的常用方法：

(1)作差法： ① 作差； ② 變形； ③ 定號； ④ 得出結論.(2)作商法（前提是兩式同號）： ① 作商； ? 變形； ③ 判斷商與1的大小； \ensuremath{Q} 得出結論.

變式2（1)[河南駐馬店2024模擬]已知 a>b>c> 0,則下列說法一定正確的是

A. a{>}b{+}c B. a^{2}{<}b c
C. a c{>}b^{2} D.\;a b+b c>b^{2}+a c

（2)（多選）[湖南長沙2024模擬]設 \scriptstyle a , b ,c ,d 為實數，且 a{>}b{>}0{>}c{>}d ,則下列不等式正確的有（

A. c^{2}{<}c d B.\ a-c<b-d C.ac<bd D. (c)/(a){-(d)/(b){>}0}

方法點透

·判斷不等關系的常用方法

(1)利用不等式的性質推導；
(2)利用特殊值法排除錯誤選項.

方法點透·

利用不等式性質求代數式的范圍的注意點：一是必須嚴格運用不等式的性質；二是在多次運用不等式的性質時避免擴大變量的范圍.解決的途徑是先確立所求范圍的整體與已知范圍的整體間的數量關系，再通過不等關系的運算求解.

提示:課后完成《作業本》第3練

講基本不等式

溫習 知識梳理

1.基本不等式： \scriptstyle{√(a b)} <=slant{(a+b)/(2)}

(1)基本不等式成立的條件：
(2)等號成立的條件：當且僅當 時取
等號；
(3)其中， 稱為 a,b 的算術平均值，稱為 ^{a,b} 的幾何平均值.

2.利用基本不等式求最大值、最小值

已知 x{>}0 ,y{>}0

(1)如果積 x y 是定值 P ,那么當且僅當
時,和 x+y 有最小值 ·（簡記：積定和
最小)
(2)如果和 x+y 是定值 S ,那么當且僅當
時,積 x y 有最大值 ：（簡記：和定積
最大)

常用結論

\left\{\begin{array}{l}{\displaystyle1,\;a^{2}+b^{2}>=slant2a b\;(\;a,b\in\mathbb{R}\;)}\end{array}\right. ，當且僅當 a=b 時等
號成立.(b)/(a)+(a)/(b)>=2\big( a b>0\big) ,當且僅當 a=b 時等號成立.
3. a b<=slant\left({(a+b)/(2)}\right)^{2}<=slant{(a^{2}+b^{2})/(2)}({\bf\nabla}a,b\in{\bf R}) ，當且僅當 a=b
時等號成立.\cfrac{2}{\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}}<=slant√(a b)<=slant\cfrac{a+b}{2}<=slant√(\cfrac{a^{2)+b^{2}}{2}} \big( a>0 ,b>0 \big) ，當
且僅當 a=b 時等號成立.

基礎自測

1.判斷下列說法是否正確（在括號內打“√”或\mathbf{\ddot{α}}x\mathbf{\ddot{α}}

(2)函數 f( x)=x+{(1)/(x)} 的最小值為2.

(3)“x>0且y>0"是“ (x)/(y)+(y)/(x)>=2^{*} ”的充要條件.

(4)函數 f( x )={√(x^{2)+3}}+{(2)/(√(x^{2)+3)}} 的最小值是 2√(2)

2.[北師版必修一P31B組T3改編]若 x>0 ，函數y=3x+{(1)/(x)} 的最小值為

A.3 B.2
\operatorname{C}. 2{√(3)} D.4

3.[北師版必修一P31A組T10改編]設計用 96\ensuremath{ m}^{2} 的材料制造某種長方體車廂（無蓋），按交通法規定廂寬為 2rm{m} ,則車廂的最大容積是

A.8√(2) ~m^{3} \mathbf{B}. 32~m^{3} C.4√(2) \m^{3} D. 64\m^{3}

4.設 x<0 ，則函數 y= 2 - 3x - {(4)/(x)} 的最小值為,此時 _x 的值為

精講 考點剖析

考點1 利用基本不等式求最值

角度1直接法

例1(多選)下列說法正確的是

A.當 x{>}1 時， x+{(1)/(x)}>=2 B.當 x{<}0 時， x+{(1)/(x)}<-2 C.當 0{<}x{<}1 時 {√(x)}+{(1)/(√(x))}>2 D.當 _{x>=slant2} 時 {√(x)}+{(2)/(√(x))}>=2{√(2)} 課堂記錄：

變式1已知 a b=1 ，則 4a^{2}{+}9b^{2} 的最小值為

方法點透·

若條件和問題間存在基本不等式的關系，則直接應用基本不等式求解，注意使用基本不等式的條件，

角度2 配湊法

例2若 x{>}{-}1 ，則 {(2x^{2}+4x+4)/(x+1)}\vert 的最小值為

課堂記錄：

變式2［北京部分校2025質檢］已知 a>1 ，則 ^{a+} (100)/(a-1) 的最小值為 ，此時 ^{a} 等于

方法點透?

將代數式進行適當變換，通過添項、拆項、變系數、湊因子等方法湊成和為定值或積為定值的形式，變換時要注意代數式的取值范圍.

角度3 常數代換法

例3[江蘇宿遷2025調研]若 a>0,b>0,a+2b=3 ，則 {(3)/(a)}+{(6)/(b)} 的最小值為

A.9 B.18
C.24 D. 27

課堂記錄：

變式3［河南湘豫名校2024聯考]已知點 P( x ,y ) 在以原點 o 為圓心，半徑為 r=√(7) 的圓上，則 {(1)/(x^{2)+1}}+ (4)/(y^{2)+1} 的最小值為

4 5+2√2 A B. 9 9 7 D.1 9

方法點透·

將與常數等價的表達式代入到不等式中化簡，再利用基本不等式進行求解.

角度4消元法

例4已知正實數 x ,y 滿足 x^{2}+3x y-2=0 ,則 2x+y 的最小值為

A.{(2{√(10)})/(3)} B. {(√(10))/(3)}
C.{(2)/(3)} 1 D. 3

課堂記錄：

變式4若正實數x,y,z滿足x^{2}+4y^{2}=z+3x y$ ,則當3最大時，→+2y= 的最大值是

領航計劃高考總復習數學

3 B.1 C D.2 2 2

方法點透

當題目中的變量較多時，可以考慮消減變量,轉化為雙變量或單變量問題.

角度5 構造不等式法

例5［海南2024模擬]若正數 a ,b 滿足 a b=2a+ {(1)/(2)}b+3 ,則 a b 的最小值為

A.3 B.6 C.9 D.12

考點2 基本不等式的綜合應用

課堂記錄：

角度1與基本不等式有關的恒(能)成立問題

例6［北京2025開學考］若對任意正數 _{x} ，不等式{(2)/(x^{2)+4}}<=slant{(2a+1)/(x)} 恒成立，則實數 \footnote{T w o t y p i c a l a p p l i c a t i o n s c e n a r i o s f o r t h e p r o p o s e d s y s t e m a r e h e a l t h c a r e,a n d l o g i s t i c s a n d w a r e h o u s i n g,i n w h i c h m u l t i p l e I o T d e v i c e s a r e d e p l o y e d c l o s e t o t h e r e c e i v e r a n d t h e t i m e d e l a y b e t w e e n t h e d i r e c t l i n k a n d b a c k s c a t t e r l i n k i s t h u s n e g l i g i b l e.} 的取值范圍為

課堂記錄：

變式6［福建寧德2025模擬］若兩個正實數 x ,y 滿足 4x+y=2x y ,且不等式 x+(y)/(4){<}m^{2}{-}m 有解,則實數 m 的取值范圍是

A. \{m\} {-}1{<}m{<}2\} B. \{m\}m{<}{-}1 或 m{>}2\} C. \{m | {-}2{<}m{<}1\} D. \{m\}m{<}{-}2 或 m{>}1\}

+方法點透·

利用基本不等式求解不等式恒(能)成立問題，通常先分離參數，求解方法為（1)若 a>=slantf( x ) 恒成立,則 a>=slant f( x )_{\max} ，若 a>=slant f(\;x\;) 能成立，則 a>=slant{\left\{\begin{array}{l l}{α>={\left\}}\end{array}\right.} f(\v{r}_{x})\v{j}_{\operatorname*{min}} ;(2)若 a<=slantf( x ) 恒成立，則 a\lesssimf( x ) _{\min} ，若a<=slantf( x ) 能成立,則 a\lesssimf( x )_{up{m a x}}

角度2利用基本不等式解決實際問題

例7［陜西西安2024模擬]某農業園租用甲公司的 A 種收割機和乙公司的 B 種收割機收割某種變式5［福建莆田2025開學考］若實數 x ,y 滿足4x^{2}+y^{2}+x y=1 ,則 2x+y 的最大值為

方法點透

尋找條件與變量之間的關系，通過重新分配，使用基本不等式，得到含有問題代數式的不等式，通過解不等式得出范圍，從而求出最值.

農作物.已知用9臺 A 種收割機和4臺 B 種收割機合作恰好用1天時間收割完一塊 M 畝的這種作物.現在用1臺 A 種收割機收割一塊 M 畝的這種作物，用1臺 B 種收割機收割另外一塊 M 畝的這種作物，如果兩塊地收割完畢后它們所用的天數之和最少，則用1臺 A 種收割機收割完 M 畝這種作物所需的天數為 ，用1臺 B 種收割機收割完 M 畝這種作物所需的天數為

課堂記錄：

變式7[廣東韶關2024聯考］在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量 W （單位：平方米）的計算公式是 W{=} （長 +4 x （寬 +4. ).在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場地的面積是10000平方米，每平方米收費1元，請估算平整這塊場地所需的最少費用(單位：元)是 （）

A.10 000 B.10 480
C.10 816 D.10 818

方法點透

利用基本不等式求解實際問題時，要根據實際問題，設出變量，注意變量應滿足實際意義，抽象出目標函數的表達式，建立數學模型，再利用基本不等式求得函數的最值.

1.柯西不等式

(1)二維形式的柯西不等式
若 a,b ,c ,d 都是實數,則 (\ a^{2}+b^{2}\ )\ (\ c^{2}+d^{2}\ )>=slant (a c{+}b d) ^{2} ,當且僅當 a d=b c 時，等號成立.
(2)三維形式的柯西不等式
若 a_{1} ,a_{2} ,a_{3} ,b_{1} ,b_{2} ,b_{3} 都是實數,則( (b+b+b）≥（ab,tabtab)2,當且僅當=時，等號成立.
( 3 ) n 維形式的柯西不等式
對于任意的 2n\left( n\in\mathbf{N}_{+} ）個實數 a_{1} ,a_{2} ,*s,a_{n} ,b_{1} ，b_{2},*s,b_{n} ,有 ( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+*s+a_{n}^{2} ( b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\dotsb+b_{n}^{2} )>=slant ( a_{1}b_{1}{+}a_{2}b_{2}{+}{\dots+}a_{n}b_{n} ) ^{2} ,當且僅當 (a_{1})/(b_{1)}=(a_{2})/(b_{2)}=*s=(a_{n})/(b_{n)} 時，等號成立.

2.權方和不等式

(1)二維形式的權方和不等式
若 a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} 為正實數，則有 (a_{1})/(b_{1)}+(a_{2})/(b_{2)}>= (\mid{√(a_{1)}+√(a_{2)} } \right)^{2})/(b_{1)+b_{2}} ,當且僅當 {(√(a_{1)})/(b_{1)}}={(√(a_{2)})/(b_{2)}} 時，等號成立.
( 2 ) n 維形式的權方和不等式
若 a_{i} ,b_{i} 為正實數 \left( i=1,2,*s,n \right) ,實數 q>0 ，則

\sum_{i=1}^{n}\;(a_{i}^{q+1})/(b_{i)^{q}}>=(\displaystyle(\sum_{i=1}^{n}a_{i})^{q+1})/(\displaystyle(\sum_{i=1)^{n}b_{i})^{q}} 當且僅蘭 {\cfrac{a_{1}}{b_{1}}}={\cfrac{a_{2}}{b_{2}}}=*s={\cfrac{a_{n}}{b_{n}}} 時，等號成立.

例8柯西不等式是數學家柯西（Cauchy）在研究數學分析中的“流數”問題時得到的一個重要不等式,而柯西不等式的二維形式是同學們可以利用向量工具得到的：已知向量 \mathbf{{\boldsymbol{a}}}=\left(\mathbf{\boldsymbol{\chi}}_{1} ,y_{1} \right) ,\mathbf{{\boldsymbol}}=\left(\mathbf{\boldsymbol{\chi}}_{2} ,\mathbf{\boldsymbol{\chi}}_{3}\right) y_{2} )，由 |a* b|<=slant|a|\;|b 得到 \left( x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2} \right)^{2}<=slant\left( x_{1}^{2}+ y_{1}^{2} )\left( x_{2}^{2}+y_{2}^{2} \right) ，當且僅當 x_{1}y_{2}=x_{2}y_{1} 時取等號.現已知 a>=slant0,b>=slant0,a+b=9 ，則 {√(2a+4 )}+{√(b+1)} 的最大值為

變式8[廣東深圳2025調研]權方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛的應用，其表述如下：設正實數 a,b ,x ,y 滿(a^{2})/(x)+(b^{2})/(y)>=(\left( a+b \right)^{2})/(x+y) 當且僅當 {\cfrac{a}{x}}={\cfrac{y}} 時,等號成立，則函數 f( x )=(1)/(3x)+(16)/(1-3x)\Big(0<x<(1)/(3)\Big) 的最小值為

A.16 B.25
C.36 D.49

講一元二次不等式

溫習 知識梳理

1.一元二次不等式

一般地，形如 a x^{2}+b x+c>0 ，或 ，或 a x^{2}+ b x+c>=slant0 ，或 a x^{2}+b x+c<=0 （其中， x 為未知數， a ,b ，c 均為常數，且 a\neq0 )的不等式叫作一元二次不等式.使一元二次不等式成立的所有未知數的值組成的集合叫作這個一元二次不等式的解集.

2.二次函數與一元二次方程、不等式的解的對應關系

常用結論

1.不等式 a x^{2}+b x+c>0\big( a\neq0 \big) , \boldsymbol{x}\in\mathbb{R} 恒成立 \Leftrightarrow a>
0且 \Delta{<}0
2.不等式 a x^{2}+b x+c<0( a\neq0) ,x \boldsymbol{x}\in\mathbb{R} 恒成立 \Leftrightarrow a<
0且 \Delta{<}0
3.二次項系數為正的一元二次不等式的解集為
“大于取兩邊，小于取中間”

3.簡單分式不等式的解法

({1})(f( x))/(g( x)){>}0( <0)\Leftrightarrow(\phantom{\left(/{ \mu)/(x)\right)}}{} (2)(f(x))/(g( x)){>=}0( {<=slant}0){\Leftrightarrow}_{-}

基礎自測

1.判斷下列說法是否正確（在括號內打“ \vee ”或x^{\ast}

(1)不等式 x^{2}<=slanta 的解集為 [-{√(a)} ,{√(a)} ] .（ （2)若不等式 a x^{2}+b x+c>0 ( a\neq0 ) 的解集為( m ， n ，則 a{<}0

(3)若關于 x 的一元二次方程 a x^{2}+b x+c=0 沒有實數根，則不等式 a x^{2}+b x+c>0 的解集為 \mathbf{R}

（4)不等式 (2x-1)/(x+2)<1 的解集為 ( -∞ ,3 )

2.[北師版必修一P41A組T3改編］已知集合 A= \{ x | x^{2}-4<0 \} ，集合 B=\{\;x\mid x^{2}-4x+3<0\;\} ，則 \complement_{\mathbf{R}}\left(A\cup B\right)

A. \{x\vert-2<x<1\} B. \{x\vert-2<x<3\} C. \{x\}x<=slant-2 或 x>=slant3! D. \{x\vert x<=slant1 或 x>=slant3\backslash

3.［北師版必修－P41B 組T1改編]若不等式 a x^{2}+ b x+c>0 的解集是 \left\{x\;\middle|\;-(1)/(2)<x<2\right\} 則 c x^{2}+b x+a<0 的解集是

4.某商店售賣的一種紀念章,每枚的最低售價為15元，若每枚按最低售價銷售，每天能賣出45枚，每枚售價每提高1元，日銷售量將減少3枚.為了使這批紀念章每天獲得600元以上的銷售收入，這批紀念章的銷售單價 _x （單位：元)的取值范圍是

精講 考點剖析

1 求解一元二次不等式

角度1不含參的不等式

例1解下列不等式：

( 1 ) x^{2}+3>3 ( x+1 ). (2)-x2+2.x-3>0.

角度2 含參的不等式

例2解關于 _x 的不等式 a x^{2}-4>=2x-2a x\left( a\in\mathbf{R}\right)

課堂記錄：

變式1［河北辛集2024月考］不等式 (3x-2)/(2x+3)<0 的解集是

A.\left\{x\mid-{(2)/(3)}<x<{(3)/(2)}\right\}\qquad~B.\left\{x\mid-{(3)/(2)}<x<{(2)/(3)}\right\} {x 或x> D. x -或 x>(2)/(3)\bigg\} 2

方法點透·

解一元二次不等式的一般步驟：（1)將不等式化為二次項系數為正的標準形式；(2)計算相應方程根的判別式，有根時求出方程的根；(3）結合圖象寫出不等式的解集.

課堂記錄：

變式2[甘肅天水2025月考］若關于 x 的不等式x^{2}-( 2a+1 ) x+2a<0 恰有兩個正整數解，則 ^{a} 的取值范圍是

方法點透

解含參的不等式，常需對參數進行分類討論：

(1)根據二次項系數大于0、小于0及等于0進行分類；（2）根據判別式與0的關系進行分類；(3)若有兩個根時，有時還需根據兩根的大小進行分類討論.

考點2 三個二次之間的關系

例3（1）（多選）[福建2025月考］已知關于 _{x} 的不等式 a( x{-} 1 )\left( x{+} 3 \right){-}2{>}0 的解集是 ( x_{1} ,x_{2} ) ,其中x_{1}<x_{2} ,則下列結論中正確的是

A. x_{1}+x_{2}+2=0
B. -3<x_{1}<x_{2}<1
C. \vert x_{1}-x_{2}\vert>4
D. x_{1}x_{2}+3<0

（2）[北京2025開學考］已知關于 x 的不等式a(\left.x-1\right)\left(x-2\right)>2x^{2}-8x+8 的解集為 \left( -∞ ,-1 \right)\cup ( 2 ,+∞ ) ，則 \boldsymbol{a} 的值為

課堂記錄：

變式3[廣東梅州2024質檢］已知關于 _x 的不等式 a x^{2}+b x-12>=0 的解集為 \{x\vert x<=slant-3 或 x>=4\} (1)求 ^{a,b} 的值；

考點3 一元二次不等式恒成立問題

角度1在R上恒成立

例4若不等式 k x^{2}+( k-6 ) x+2>0 的解集為全體實數,則實數 k 的取值范圍是

A.[2,18] B.(-18,-2) C.(2,18) D.(0,2)

課堂記錄：

變式4［廣西南寧2025月考］若命題“ \forall\:x\in\mathbf{R},x^{2}+ 2x+3{>}m ”是假命題，則實數 m 的取值范圍是

A. ( -∞ ,2 )
B. [ 2,+∞ )

(2)求關于 x 的不等式 b x^{2}+a x+6>=0 的解集.

方法點透

1.一元二次方程的根就是相應二次函數的零點，也是相應一元二次不等式解集的端點.2.給出一元二次不等式的解集，可以確定相應二次函數圖象的開口方向以及與 _x 軸的交點，可以代入根或利用根與系數的關系求待定系數.

C.(-∞ ,2] D. ( 2 ,+∞ )

方法點透

一元二次不等式 a x^{2}+b x+c>0 在 \mathbf{R} 上恒成立 \Longleftrightarrow a> 0且 \Delta{<}0 ；一元二次不等式 a x^{2}+b x+c<=0 在 \mathbf{R} 上恒成立 \Longleftrightarrow a<0 且 \Delta<=slant0

角度2 在給定區間上恒成立

例5［廣東肇慶2025開學考］已知對任意 x\in[ 1 ，2],不等式 a x^{2}-2x+3a<0 恒成立，則實數 \boldsymbol{a} 的取值范圍是 ）

課堂記錄：

變式5［山西呂梁2024月考］已知關于 _{x} 的不等式 x^{2}-( a+4 ) x+2a+5>=0 在 ( -∞ ,2 ) 上恒成立,則a 的最小值為

+方法點透

對于一元二次不等式在給定區間上恒成立問題，常轉化為求二次函數的最值或用分離參數法求最值。

角度3 給定參數范圍的恒成立

例6若命題“ ~j~a\in\left[ -1 ,3 \right],a x^{2}-\left( 2a-1 \right)x+3-a< 0"為假命題，則實數 _{x} 的取值范圍為（)

A. [-1,4] B.\left[0,(5)/(3)\right]

考點 4 一元二次方程根的分布問題

例7已知方程 x^{2}+( 2m{-}1 ) x{+}4{-}2m{=} 0 的兩根一個比2大,另一個比2小，則實數 m 的取值范圍是課堂記錄：

變式7若函數 f( x )=2a x^{2}+3x-1 在區間(-1,1)內恰有一個零點，則實數 \boldsymbol{a} 的取值范圍為（）

A. \{a\vert-1<a<2\} B.\left\{a\mid a=-(9)/(8)\underline{{{\oplus}}}\slash-1<a<2\right\}

C. [-1,0] [,4] D. [-1,0) u(≤,4]

課堂記錄：

變式6+對于 0<=slantm<=slant4 中的任意 m ,不等式 x^{2}+m x> 4x+m-3 恒成立，則 x 的取值范圍是

A. [-1,3]
B. ( -∞ ,-1 ]
C.\left[3,+∞\right)
D.~( -∞ ,-1 )\cup( 3 ,+∞ )

方法點透

給定參數范圍的恒成立問題，可以把參數看成新的自變量，再根據題目條件解不等式.或者利用分離參數法來求解不等式.

C. \left\{a | {-}1<=slanta<=slant2 \right\} 9
D. 或-1≤a≤2 8

方法點透

在求解方程根的分布問題時，主要從以下幾個方面建立關于系數的不等式(組)進行求解： {registered} 的符號； ② 方程對應的函數圖象的對稱軸與所給區間的位置關系； ③ 方程對應的函數在區間端點處函數值的符號.