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職教高考

數學 復習指導用書

叢書主編 袁望培 本書主編 魏曉紅

嚴格依據教育部最新《數學學科課程標準》編寫，知識點全面、準確

江西科學技術出版社

精心研究近十年江西省命題趨勢及命題思路

傾情提供最新職教高考考試真題及詳盡解題思路，直擊高考

職教高考

數學 復習指導用書

叢書主編：袁望培
本書主編：魏曉紅
副主 編：王冬勇夏根枚
編寫組：魏曉紅王冬勇 夏根枚邱晨黃娟 萬金平鐘燕 盧文校蔡志堯　陶志鵬　吳　昕

前 言

2020年7月30日，《教育部江西省人民政府關于整省推進職業教育綜合改革提質創優的意見》(贛府發[2020]16號)文件提出，以體制機制改革和政策制度創新作為職業教育發展的主要驅動力，通過改革職業院校管理體制、建立職教高考制度、創新職業教育協同發展機制、完善技能人才激勵機制，形成職業教育高質量發展的制度體系，通過 3~5 年的努力，幫助職業本科院校招收中高職畢業生的比例達到 20 % 以上。職教高考成為中等職業學校學生升入高等院校的重要途徑。為幫助江西省廣大師生更加有效地進行考前復習，準確把握職教高考命題規律和趨勢，在廣泛征求意見的基礎上，我們結合江西省中等職業學校實際教學情況，組織一批有豐富升學考試輔導經驗的教學一線老師精心編寫江西省《職教高考數學復習指導用書》。

本書根據教育部頒布的《中等職業學校數學課程標準》編寫，緊扣職教高考要求，準確把握高考要點，全面覆蓋考綱內容，圍繞考點精講精練，是江西省職教高考及“三校生”對口升學考試數學學科同步輔導教材。

本書共十一章，每章節分別設有“考情精析”等七個欄目。

【考情精析】精準分析近十年，并選取近三年江西省“三校生”對口升學考試數學試卷原題，統計各考點出現頻率、試題題型、考核層次、分值比重、關注度等，多維度把握命題規律與趨勢，讓考生可以有條不紊地做好備考學習計劃。

【思維導圖】用思維導圖的形式簡明扼要地梳理每章知識內在邏輯結構，幫助考生更好地把握知識脈絡，在頭腦中形成條理清晰的知識框架體系，幫助考生審視自己對章節內容的考點能否有效地進行盤點，如果存在漏洞，也不用太擔心，后面的五個欄目將進行系統性優化。

【知識整合】梳理每節的知識內容，強化對相關知識點的了解、理解和掌握，夯實基礎知識，提升基本技能。

【基礎訓練】快速高效檢測考生對基礎知識和基本技能的掌握情況。本欄目是后續學習的基礎，也是重要的得分點，考生萬萬不可蒙混過關，必須要求自己全部掌握。

【重難點突破】詳解近三年的江西省“三校生”高考數學真題（回憶版），幫助考生零距離接觸高考真題，根據高考試題命題規律預測補充經典例題，逐章逐節分析重點和難點，配置舉一反三練習，幫助考生集結式訓練，熟練運用基本數學思想，掌握解題通性通法。各考點設有言簡意的考點小結和細心點撥的反思提煉，以便考生對每章節常見考題類型、重難點有全局性的了解。本欄目將幫助考生對重點難點做到融會貫通，并力爭在難度系數高的客觀題和解答題中少丟分。

【達標檢測】 有的放矢，精選重點難點題型進行達標檢測，幫助考生提升自我診斷沖刺高分的能力。

本書從考生迎考的角度出發，系統梳理教材知識體系和考點分布規律情況，主要包含以下特色：1.定位準，直接面對江西省職教高考及“三校生”對口升學考試；2.體系全，涵蓋考綱和高考真題的所有內容；3.指導詳，從考情分析到考綱解讀，從真題示例到方法指導，從對點訓練到周密解答，既夯實基礎，又提升能力。本書體現“做中學、做中教”的教學理念，注重對考生分析問題與解決問題能力的培養，教材知識重難點突出，題型設計合理，具有較強的指導性和針對性，可以供考生備考自主使用，亦可作為中職數學教師教學參考用書。

為了幫助考生檢測章節知識點掌握程度和培養適應高考題型題量的能力，本書還配套編寫階段綜合測試卷，全卷分為四個模塊：單元A、B測試卷，題量、題型、分值與真題卷保持一致全真模擬卷，真題匯編。

本書由魏曉紅任主編，夏根枚和王冬勇任副主編。具體編寫分工：夏根枚編寫第一章，蔡志堯編寫第二章，魏曉紅編寫第三章，邱晨編寫第四章，王冬勇編寫第五章，黃娟編寫第六章，萬金平編寫第七章，陶志鵬編寫第八章，鐘燕編寫第九章，吳昕編寫第十章，盧文校編寫第十一章。

由于知識更新快，編寫時間短，編寫水平有限，編寫人員雖盡心盡力，本書難免有錯誤與疏漏之處，懇請廣大教師和學生批評指正，及時與我們聯系，反饋郵箱：594233288@qq.com，我們將在積累經驗的基礎上不斷對本書修訂與完善。

目錄

第一章 集合與充要條件{\scriptsize{\bigcirc}1.11} 集合的概念及集合之間的關系 2{\scriptsize{\bigcirc}1.2} 集合的運算 8{\scriptsize{{\scriptsize{{\scriptsize}}}}1.3} 充要條件 13

第二章 不等式

? 2.1不等式的基本性質 18
?2.2 解一元一次不等式(組)和含絕對值的不等式 22
?2.3 解一元二次不等式· 28
? 2.4不等式的應用· 33

第三章函數

? 3.1函數的概念及表示法 38
? 3.2 函數的性質·…· 45
3.2.1 函數的單調性 45
3.2.2 函數的奇偶性 49
? 3.3幾種常見的函數…. 53
? 3.4函數的應用 ..61

第四章 三角函數 b

? 4.1角的概念的推廣及弧度制 69

4.2任意角的三角函數 75
?4,3 誘導公式與已知三角函數值求角…· 83
{>} 4.4 和角公式與二倍角公式 88
? 4.5 正弦函數、余弦函數、正弦型函數的圖象和性質 95
? 4.6 解三角形 102
4.6.1 正弦定理 102
4.6.2 余弦定理 104
4.6.3求三角形面積 107

第五章 指數函數與對數函數

?.1 實數指數冪 111
?.2 指數函數 114
?.3 對數與對數函數 119
?.4 指數函數和對數函數的應用 125

第六章 數列 13

{\scriptsize{{\scriptsize{{\scriptsize{6.1}}}}}} 數列的概念 135
? 6.2 等差數列 140
6.2.1等差數列 140
6.2.2等差數列的性質 145
{>} 6.3 等比數列 148
6.3.1等比數列 148
6.3.2等比數列的性質 153
? 6.4 等差數列與等比數列的應用 157

第七章 平面向量 6

? 7.1向量的概念及線性運算 162

? 7.2向量的內積 168
? 7.3向量的坐標表示 171

第八章 平面解析幾何

? 8.1直線與圓的方程 177
8.1.1 兩點間距離公式和線段的中點坐標公式 177
8.1.2 直線的方程 180
8.1.3 兩條直線的位置關系 186
8.1.4 圓的方程 190
8.1.5 直線與圓的位置關系 195
8.1.6直線與圓的方程應用 201
? 8.2 圓錐曲線 205
8.2.1橢圓的標準方程及幾何性質 205
8.2.2 雙曲線的標準方程及幾何性質 212
8.2.3拋物線的標準方程及幾何性質 218

第九章 立體幾何 224

{\scriptsize{{\scriptsize{{\scriptsize}}}}}9.1 平面的基本性質 226
{\scriptsize{{\scriptsize{{\scriptsize}}}}}9.2 直線與直線、直線與平面、平面與平面平行的判定與性質 229
?*3 直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質 235
{\scriptsize{{\scriptsize{{\scriptsize}}}}}9.4 直線與直線、直線與平面、平面與平面所成角 240
{{\scriptsize{{\scriptsize}}}}*5 多面體與旋轉體 247
{\scriptsize{{\scriptsize{{\scriptsize}}}}}9.6 簡單幾何體的三視圖 255

第十章 復數 258

? 10.1復數的概念和意義 259
? 10.2復數的運算· 265

? 10.3實系數一元二次方程的解法 268

第十一章 概率與統計初步

? 11.1排列組合 274
11.1.1計數原理 274
11.1.2 排列與組合 278
11.1.3 二項式定理 284
? 11. 2 概率與隨機變量分布 288
11.2.1概率 288
11.2.2隨機變量及其分布 295
? 11.3統計初步 301
11.3.1統計圖表 301
11.3.2一元線性回歸 308

附錄數學公式

集合與充要條件

第一章

考情精析

思維導圖

1.1 集合的概念及集合之間的關系

知識整合

一、集合的基本概念

1.集合：將某些確定的對象看成一個整體就構成一個集合，簡稱為集.集合通常用大寫字母 A ,B ,C ,·來表示.組成集合的對象叫作這個集合的元素.元素通常用小寫英文字母 a ,b c ，·來表示。

2.集合中元素的性質

(1)確定性：對于任意一個集合 A 和一個元素 \boldsymbol{a} ，要么 a 屬于 A ，要么 a 不屬于 A

如高一(1)班高個子同學的全體就不能構成集合.

(2)互異性：集合中的元素必須互不相同，

注意：元素的互異性，在一些集合的計算中常常作為檢驗的依據.相同的對象歸人同一個集合時只能算作集合的一個元素.

(3)無序性：集合中的元素與順序無關.

如{1,3,5}與{5,3,1}是同一個集合.

3.元素與集合的關系：若 \boldsymbol{a} 是集合 A 的元素，就說 α 屬于集合 A ，記作 a\inA ；若 \boldsymbol{a} 不是集合 A 的元素，就說 \boldsymbol{a} 不屬于集合 A ，記作 a\notin A

4.集合的分類

(1)按元素個數分類

有限集：集合中含有的元素個數有限.如： \{x\in\mathbf{Z} | 2<x<8\}

無限集：集合中含有的元素個數無限.如： \{x | 2{<}x{<}8\}

集：不含任何元素的集合，記作 \varnothing .如： \{ 方程 x^{2}+2=0 的實婁

注意：要區分0，{0}與 \varnothing ;空集是有限集.

(2)按元素特征分類：數集、點集等

常見數集的符號表示：自然數集N；整數集 \mathbf{Z} ;正整數集 \mathbf{N}^{\ast} 或 {\bf Z}_{+} ；負整數集 \mathbf{Z}_{-} ；有理數集Q；正有理數集 {\mathbf Q}_{+} ;負有理數集 \mathbf{Q}_{-} ;實數集 R.

二、集合的表示法

1.列舉法：把集合的元素一一列出來，用逗號隔開，寫在花括號內表示集合的方法.集合的元素不多時可一一列出，當集合為元素很多的有限集或為無限集時，在不發生誤解的情況下，只列出幾個代表元素，其他元素用省略號表示.

注意：寫出的元素必須要讓人明白省略號表示了哪些元素.

2.描述法：把集合的特征性質描述出來，寫在花括號內表示集合的方法.

(1)特征性質：集合 A 的特征性質 \boldsymbol{\rho} ,是指屬于集合 A 的元素具有性質 \boldsymbol{\rho} ,而不屬于集合A 的元素不具有性質 \boldsymbol{\phi}

(2)描述法的一般形式： A{=}\{x | \rho(x)\} ，豎線左邊的 _{\mathscr{x}} 代表集合的任一元素，右邊表示集合中的元素所具有的性質.

(3)簡略形式：{元素名稱），如{正方形）、{有理數>等.

注意：“》”表示“全體”的意思，一般情況下整數集記為 Z ，不能寫成/全體整數 \} 或 \{Z\}

3.圖示法：用圖形表示集合的方法.如韋恩圖、數軸.

三、集合與集合間的關系

1.子集：一般地，對于兩個集合 A 和 B ,如果集合 B 的元素都是集合 A 的元素，那么集合B 叫作集合 A 的子集，記作 B{\subseteq}A （或 A{\=}B ，讀作“ B 包含于 A ”或“ A 包含 B ”).

子集的性質：(1)任何一個集合都是它本身的子集，即 A{\subseteq}A

(2)規定：空集是任何集合的子集，即 \varnothing\subseteq A

(3)子集的個數：一個集合 A 的子集個數為 2^{n} ，其中 n 是指集合 A 中的元素個數.

2.真子集：如果集合 B 是集合 A 的子集，并且 A 中至少有一個元素不屬于 B ，那么把集合 B 叫作集合 A 的真子集，記作 B{\equiv}A （或 A{\stackrel{\triangledown}{\neq}}B ，讀作“ B 真包含于 A ”（或“ A 真包含B").真子集個數：一個集合 A 的真子集個數為 2^{n}-1 ,其中 n 是指集合 A 中的元素個數.

3.集合相等：一般地，如果兩個集合的元素相同，那么就說這兩個集合相等.集合 A 等于集合 B ，記作 A=B

4.子集、真子集、集合相等的關系

(1)如果 B{\subseteq}A ，則 B{\equiv}A 或 B=A

(2)如果 B{\subseteq}A ，且 A{\subseteq}B ，則 B=A ；反之，如果 B=A ，則 A{\subseteq}B 且 B{\subseteq}A

基礎訓練

1.下列語句可以構成一個集合的個數為① 小于8的正整數； ? 好看的筆； \circled{3} 方程 x^{2}-25=0 的所有解； \circledast 不等式 2x+4{<}16 的所有解； ⑤√(3) 的近似值的全體構成一個集合； ⑥2024 年巴黎奧運會的比賽項目.

B.3 C.4

2.下列說法正確的是

A.一個集合中可以有兩個相同的元素
B.數 -2,0,0. 5,{(1)/(2)},2,|-2| 組成的集合有 6個元素
C. \{x | 1{<}x{<}3\}{\equiv}\{x | {-}1{<}x{<}5\}
D.集合 \{x\inZ|-1<x<3\} 是無限集

3.填空(用適當的方法表示下列集合).

(1)大于一3且小于9的奇數的全體：(2)絕對值等于7的實數的全體：(3)不等式 2x+1<=slant7 的解集：(4)所有正偶數組成的集合：

4.若 A {=} \{x | x^{2} {-} 5x {+} 6 {=} 0\} ,則集合 A 的真子集共有 個.

5.用符號“∈”“”“ = ”“”或“”填空.

(1){1,2,3} {1,2,3,4,5}; (2)若 α\in\mathbf{Z} ,則-a Z；
(3)0 \varnothing ； \left(4\right)\{x | x^{2}=9 \} \underline{{{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad}}}\left\{3 ,-3 \right\};
(5)|-3l \mathbf{N}^{*} (6） \{x | -3{<}x{<}8\} {4,5,6,7}.

重難點突破

知識點1 元素與集合的關系

只有元素與集合之間的關系才能用：“ \in ”和“”，要理解這兩種關系的含義，不要與集合和集合之間的關系混淆.

（2020·江西三校生高考）是非選擇題：對的選A，錯的

已知集合 A=\{x | x>-1\} ，則 \{0\}\in A (AB)

B【解析】元素與集合之間的關系用： \in 和 \nsubseteq ，而 \left\{ 0 \right\} 是集合， A 也是集合，集合與集合之間的關系用 \subseteq 2、≤、、 = .因為 0>-1 ，所以 0\inA 或 \{0\}\subseteqA 故選B.

【舉一反三】

1.已知集合 A {=} \{ 3 ,a {+} 2 \} ，則實數 \boldsymbol{a} 的取值范圍是 \{a | a\neq1\} （A B)
2.已知集合 M{=}\{x | 3 {-} 2x{<}1\} ，則 \{5\}\{-M （A B)
3.已知集合 B=\{x\in\mathbf{Z} | 0<x<4\} ，則 2, 3 \notin B （A B)
4.已知集合 P=\{ (x,y) | x>0 ,y<0 \} ，則 \{( 2 ,- 3 ) \}\in P （A B)

反思提煉

1.組成集合的對象是確定的，也就是說，對于任何一個對象，或者是這個集合的元素，或者不是這個集合的元素，二者必居其一.

2.“∈”是屬于關系的符號，它表示元素與集合之間的一種個體與整體的關系，在“∈”的兩邊分別是元素、集合.還要注意寫法.

3.注意點集中元素的一般形式是 (x,y)

知識點2集合之間的關系

1.集合間的關系有包含于、真包含于、包含、真包含、相等.其數學符號為：二、、二、、 =

2, ^{\bullet}\in ”和“”用于元素與集合的關系，注意不要與集合和集合的關系混淆，

例2 已知集合 A {=} \{x | {-}1{<}x{<}3\} ,非空集合 B=\{x | a+1<x<2a\} ，若 B{\subseteq}A ，求實數 a 的取值范圍.

【解】 因為 A {=} \{x | {-}1{<}x{<}3\} ，集合 B=\{x | a+1<x<2a\} 為非空集合，且 B{\subseteq}A ，借助\begin{array}{r}{\left\{\begin{array}{l}{2a>a+1 ,}\\ {2a\ll3 ,}\\ {a+1>=-1 ,}\end{array}\right.}\end{array} B A數軸如圖所示，得 解得 1{<}a{<=slant}(3)/(2) ,即實數 \boldsymbol{a} 的取值 -1a+1 2a3 X范圍為 1{<}a{<=slant}(3)/(2)

【舉一反三】

1.已知集合 A=\{x | x-2\ge0 \} ,B=\{3 ,4 ,5\} ，則 B{\subseteq}A A B)

2.下列關系式中正確的是

{A}. {O}{\gtrless}\{0\}\qquad\qquad{B}. {O}{=}\{0\}\qquad\qquad{C}. \{2\}\in\{0,1,2\} D.{1,2}≤{1,2}

3.設集合 A=\{m-1,4\} ,B=\{4,2\} ,若 A=B ，則 m=

A.0 B.1 C.2 D.3

4.已知集合 A=\{x | x>3\} ,B=\{x | x>a\} ,若 A{\subseteq}B ，則

A. a{>=slant}3 B. a>3\qquad\qquad\qquadC. a\ll3 D. a=3

A=\{x | -4<x\ll4\} ,B=\{x | -2\llx<3\} ，則下列選項正確

A. A{\ge}B B. A{\subseteq}B\qquad\qquad\qquadC. A{\equiv}B D. B{\equiv}A

反思提煉

集合間關系的判斷方法.

1. A{\subseteq}B :一般用定義法，即說明集合 A 中任一元素都是集合 B 中的元素.2,A{\stackrel{\subset}{\not=}}B :先判斷 A{\subseteq}B ，然后說明集合 B 中存在元素不屬于集合A.3. A=B ：可以證明 A{\subseteq}B 且 B\subseteqA ；也可證明兩集合元素完全相同，

知識點3集合的表示法

1.列舉法表示集合時，列出集合中所有的元素，要不重不漏.

2.描述法表示集合時，集合中元素的意義取決于它的“代表”元素.用描述法表示集合時有兩種形式： ① 一般形式： \{x | p(x)\} ,x 代表元素， \boldsymbol{\rho} 代表元素 _{x} 具有的公共性質; ? 簡略形式：將集合元素的名稱寫在花括號中，如{三角形）.

例3 用適當的方法表示下列集合.

(1)大于一3且小于15的所有奇數組成的集合；
（2）不等式 2x+3{>}9 的解集；
(3）方程 x^{2}-8x+15=0 的解集；
(4)在平面直角坐標系中，由第三象限內的所有點組成的集合.
【解】 (1)\left\{-1,1,3,5,7,9,11,13\right\}
(2)解不等式 2x+3{>}9 得 x>3 ，所以不等式 2x+3{>}9 的解集為 \{x|x{>}3\}
(3)解法一:用列舉法,解方程 x^{2}-8x+15=0 ，得 x_{1}=3 ,x_{2}=5 .故方程的解集為 \{ 3 ,5 \}
解法二：用描述法表示為 \{x | x^{2}-8x+15=0\}
(4)由第三象限所有點組成的集合為 \{(x,y) | x{<}0 ,y{<}0\} ：

【舉一反三】

1.用適當的方法表示下列集合.
(1)兩邊長分別為5，7的三角形中，第三邊邊長可取的整數組成的集合；
(2)在平面直角坐標系中，由第一、二象限內的所有點組成的集合.

2.用描述法表示集合 \left\{{(1)/(2)},{(1)/(4)},{(1)/(6)},{(1)/(8)},{(1)/(10)}\right\}

反思提煉

1.用描述法時要注意不能出現未被說明的字母，并且要注意使用“且”與“或”等.
2.集合的兩種表示法的應用要明確的三點.
(1)明確集合中的元素，特別要注意 \{x\vert \rho(x)\} 表示數集， \{(x,y) | \rho(x,y)\} 表示點集；
(2)明確元素滿足的條件；
(3)明確集合中元素的個數，選擇適當的方法表示集合.

達標檢測

1.下列語句中,可確定一個集合的是

A.本班成績較好的同學全體
B.直線 _{y}=2x 上的一些點
C.無窮大的所有整數
D.2024年7月26日出席“2024巴黎奧運會”開幕式的全體成員

2.已知 A {=} \{x | 2x {-} 4{<}0\} ，則有

B.0A C.~2.~3\inA

3.下列關系中： \{\{1,2\}\subseteq\{2,1\} ;\{\{2\}\}=\{2,1\} ;\odot\}\otimes\}\}&{{}=\{1\} ,\odot}\otimes\}\otimes\}\otimes\}\otimes\}\} 正確的個數有

A. 1 B.2 C.3 D. 4

4.用性質描述法表示集合 \{-3,3\} ,正確的是

A. \{x\vert x+3{=}0 \begin{array}{l l}{B.}&{\{x | x-3=0\}}\\ {D.\;\{x | (x-3)^{2}=0\}}\end{array}
C. \{x | x^{2}=9\}

5.下列集合表示法正確的個數是\begin{array}{r}{\mathbb{\Phi}\{-1,0,2,2,3\} ;\;\mathbb{Q}\{x | x=3n+1,n\in{\bf Z}\}=\{x | x=3n-2,n\in{\bf Z}\} ;}\end{array} ③ {直角三角形或鈍角三角形}； \circled{4} 方程組 \scriptstyle{\binom{x+2y=5}{2x-y=0}} 的解的集合為 \{ (1,2) \}

A. 1 B.2 C.3 D. 4

6.用適當的符號“ \in ，，尋，， = ”填空.

7.(1)設集合 A {=} \{x |x^{2} {+} 2x {-}a {=} 0\} ，若 1\inA ，則 A{=}

(2)滿足 \{a\}\subseteqA\subseteq\{a ,b ,c ,d\} 的集合 A 共有 個.

1.2 集合的運算

知識整合

一、交集

1.定義：一般地，對于兩個給定的集合A、B，由既屬于 A 又屬于 B 的所有元素組成的集合，叫作集合 A 與集合 B 的交集，記作 A\cap B ,讀作“A交 B ”，即 A\cap B=\{x | x\inA 且 x\in B\} 如圖1-1中陰影部分所示：

圖1-1

2.性質： (1)A\cap B{=}B\bigcap A

(4)如果 A{\subseteq}B ，則 A\cap B{=}A ；反之如果 A\cap B{=}A ,那么 A{\subseteq}B

二、并集

1.定義：一般地，對于兩個給定的集合 A,B ，由集合 A,B 的所有元素所組成的集合，叫作集合 A 與集合 B 的并集，記作 A\cup B ，讀作“ A 并 B ”，即 A\cup B=\{x | x\inA 或 x\in B\} .如圖1-2中陰影部分所示：

圖1-2

2.性質： (1)A\cup B{=}B\cup A

(4)如果 A{\subseteq}B ，則 A\cup B{=}B ;反之如果 A\cup B{=}B ,那么 A{\subseteq}B

三、補集

1.全集：在研究集合間的關系時，如果每一個集合都是某一個給定集合 U 的子集，那么

稱這個給定的集合為這些集合的全集，通常用符號 U 表示.在研究數集時，經常把實數集 R 作為全集.

2.補集的定義：如果集合 A 是全集 U 的子集，那么，由 U 中不屬于A的所有元素組成的集合叫作 A 在全集 U 中的補集，記作 \complement_{U}A ，讀作“ A 在 U 中的補集”即 \complement_{U}A\ = \{x\vert x\inU 且 \boldsymbol{\mathscr{x}} A}.其關系如圖1-3所示：

圖1-3

3.補集的性質 ?\varLambda\cup \complement_{U}A=U ;A\bigcap \complement_{U}A=\emptyset \complement_{U}(\complement_{U}A )=A

4.運算律：

A{style\bigcap}(B{style\bigcup}C)=(A{style\bigcap}B)\bigcup(A{style\bigcap}C):A\bigcup(B{style\bigcap}C)=(A\bigcup B)\bigcap(A\bigcup C):(B{style\bigwedge}(C)) \mathsf{\tilde}_{U}(A\bigcup B)=(\mathsf{\tilde}_{U}A )\bigcap(\mathsf{\tilde}_{U}B) ; \mathsf{\tilde}_{U}(A\bigcap B)=(\mathsf{\tilde}_{U}A )\bigcup(\mathsf{\tilde}_{U}B)

基礎訓練

1.若全集 U=\{x |-2<x<5 且 x\in N\} ， \complement_{U}A=\{4\} ,則集合 A 的真子集共有 個

2.設集合 M=\{2,6\} ,N=\{a-2,4\} ,M\capN=\{2\} ，則 a 的值是

A. 1 B.2 C.3 D. 4

3.若全集 U=\mathbf{R} ,集合 A=\{x |-3\llx\ll5\} ,B=\{x | x<2\} ，則 A\bigcap(\complement_{U}B)=

A. \{x\vert x{>}2\} B. \{x | x>=slant2\} C. \{x | 2{<}x{<=slant}5\} D. \{x|2{<=slant}x{<=slant}5\}

4.已知集合 A=\{x |-2\llx\ll5\} ,B=\{x | x<3\} ，則 A\cup B=

A. \{x | {-}2{<=slant}x{<}3\} B. \{x | x{<}3\} 心 \{x\vert x{<=slant}5\} D. R

5.設集合 A=\{ (x,y) | x+y=2 \} ,B=\{ (x,y) | x-y=6 \} ，求 A\cap B

重難點突破

知識點1集合的交集

兩個集合的交集是由這兩個集合的公共元素組成的集合.

例1如圖，集合 U=\{1,2,3,4\} ,A=\{1,3\} ,B=\{1,2\} ,則圖中陰影部分所表示的集合是

A.{1,2} B.{2} C.{2,4} D.{4}

B【解析】集合 A B 中都含有元素1，所以 A\cap B=\{1\} ，所以圖中陰影部分所表示的集合是{2}.故選B.

【舉一反三】

1.若集合 A=\{x | -1<x<5\} ,B=\{2 ,3 ,4 ,5\} ，則 A\cap B=\{3 ,4\} (A B)
2.已知集合 A=\{2,a\} ,B=\{1,2,3 ,4 ,5\} ,A\bigcap B=\{2,5\} ，則 {a=}

A. 1 B.2 C.3 D.5

例2 （2024·江西三校生高考）已知集合 A=\{x | 2x-7<1\} ,B=\{x |-3x+4<1\} ,則 A\bigcap B{=}\{x\mid1{<}x{<}4\} (AB)

A 【解析】 A=\{x | x<4\} ,B=\{x | x>1\} ,A\capB=\{x | 1<x<4\} .故選A.

【舉一反三】

1.若集合 A=\{x | -3<=slantx<2\} ,B=\{x | -1<x<=slant4\} ，則 A\cap B{=}

A. \{x | {-} 3{<=slant}x{<=slant}4\} B. \{x | {-}3{<=slant}x{<}2\} C. \{x |-1{<}x{<}2\} D. 0,1}

2.設集合 A=\{ (x,y) | 2x+y=1\} ,集合 B{=}\{(x,y) | x{-}2y{=}5\} ，求 A\cap B

反思提煉

所謂公共元素，就是既屬于 A 又屬于 B 的元素，即 A\cap B=\{x | x\inA 且 x\in B\} ·在解決集合運算的題目時，可借助于韋恩圖或數軸，以簡便運算.

知識點 2集合的并集

兩個集合的并集是由這兩個集合的所有元素組成的集合.

例3 (2023·江西三校生高考)已知集合 A=\{x | {-1{<}x{<}4}\} ,B{=}\{x | x{<}2\} ，則 A\cup B

=\{x | x{<}4\} (A B)

A 【解析】 借助數軸表示，如圖所示：

因為 A=\{x |-1<x<4\} ,B=\{x | x<2\} ,所以 A\cup B=\{x | x{<}4\}. 故選A.

【舉一反三】

1.已知集合 A=\{5 ,7\} ,B=\{6 ,a+1\} ,且 A\cup B {=} \{5 ,6 ,7 ,8\} ，則 a=

A.5 B.6 C.7 D.8

2.已知集合 A=\{x | 0<x<2\} ,B=\{x | 1<x<3\} ,則 A\bigcup B{=}\{x\mid0{<}x{<}3\} .…(AB)
3.已知集合 A=\{x | 2\llx<5 \} ,B=\{x | 3x-15>=slant5-2x\} ，則 A\cup B= ( ）

反思提煉

1.若集合中元素個數有限，則直接根據并集的定義求解，但要注意集合中元素的互異性.
2.若集合中元素個數無限，可借助數軸，利用數軸分析法求解，但要注意是否去掉端點值.

知識點3集合的補集

由補集的定義可知,對于給定的全集 U 以及它的任意一個子集 A ，有 ①A\cap\complement_{U}A=\emptyset \;\;\odot A\cup \complement_{U}A {=}U ;③ \complement_{U} ( \complement_{U}A ) {=}A.

例4 (2021·江西三校生高考)若集合 A{\subseteq}B ，則 \complement_{U}A\supseteq\complement_{U}B\cap U 是全集）．·……（AB)

A 【解析】由子集和補集的運算性質，借助韋恩圖可知結論正確.故選A.

【舉一反三】

1.已知全集 U=\{x\in\mathbf{Z} | 1<x\ll10\} ,集合 A=\{2 ,3 ,4 \} ,B=\{2 ,3 ,4 ,5 ,6\} ，則 \complement_{U}A\supseteq\complement_{U}B (AB) 2.若全集 {\bf{\cal U}}{=}{\bf R} ，集合 A=\{x|1<x<3\} ,B=\{x|-1<x<4\} ,則 \complement_{U}A\supseteq\complement_{U}B .….(AB)

例5 （2022·江西三校生高考）已知集合 A=\{x | 1{<}x{<}3\} ,B=\{x | x{<}2\} 則 A\cap (\ \upzeta_{R}B)=\{x | 2\llx<3\} (AB)

A【解析】因為 B=\{x | x<2\} ，所以 \bar{\mathsf{t}}_{\scriptscriptstyle R}B=\{x | x>=slant2\} ,A\cap(~\bar{\mathsf{t}}_{\scriptscriptstyle R}B)=\{x | 1<x<3\} \cap \{x | x{>=slant}2\} {=} \{x | 2{<=slant}x{<}3\} ,所以結論正確.故選 A.

【舉一反三】

1.已知全集 U=\{x\inN | {-2}{<}x{<}6\} ,集合 A=\{1,2,3\} ,B=\{x\inZ | | x|<3\} ,則（C _{U A} \cup B=

2.若 U=\{-1,1,a-2\} , \complement_{U}A=\{5\} ，則 a\mathop{=}_{-} A=.

3.若全集 {\boldsymbol{U}}=\mathbf{R} ,集合 A=\{x |-2\llx\ll4\} ,B=\{x | x<3\} ，則 A\cap\ [_{U}B=

A. \{x\vert x{>}3\} 3.\{x\vert x>=slant3\}\qquad\quadC.\{x\vert3<x<=slant4\}\qquad\quadD.\{x\vert3<=slantx<=slant4\}

反思提煉

1.集合混合運算順序為有括號先算括號里面的，同級運算中有補集的先算補集.

2.補集的求解步驟及方法：

① 確定全集：在進行補集的簡單運算時，應首先明確全集； ? 緊扣定義求解補集。

(2)方法： ① 借助Venn圖或數軸求解； ? 借助補集性質求解

達標檢測

1.設集合 A=\{x | x=3k-1,k\inN\} ,B=\{x | x<8\} ，則 A\cap B 等于

A. \{-1,2,5\} B.{2,5} C. \{-1,4,7\} D. \{-1,2,5,7\}

2.已知集合 A=\{-2,3 ,a \} ,B=\{1 ,a^{2} \} ,若 A\cup B{=}\{-2,1,3 ,6 ,36\} ，則 a 的值為

3.已知全集 U=\{x|0<x<12,x 為奇數}， \complement_{U}A {=} \{1,3,5\} ， \complement_{U}B=\{9,11\} ，則 A\cap B{=}

4.若集合 A=\{(x,y) | x-2y=4\} ,B=\{(x,y) | 2x+3y=1\} ，則 A\cap B{=}

A. \{2,-1\} B. \{ ( 2 ,-1 ) \} C.(2，-1) D. \{ ( 2 ,1 ) \}

5.滿足條件 \ensuremath{O}\ensuremath{\Xi}\ensuremath{A}\ensuremath{\Xi}\ensuremath{\{a,b\}} 的集合 A 共有

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

6.用集合的交，并，補符號表示下圖的陰影部分.

7.設全集 U=\mathbf{R} ,集合 A=\{x | {-2}{<=slant}x{<}3\} ,B=\{x | 0{<}x{<=slant}6\} ，求 ( \complement_{U}A )\cap( \complement_{U}B ) ,( \complement_{U}A )\cup \complement_{U}B) \upzeta_{U}(A\cap B) \complement_{U}(A\cup B)

1.3 充要條件

知識整合

1.一般地,若命題“如果 \boldsymbol{\dot{P}} ,那么 q "是正確的，即 \scriptstyle{p\Rightarrow q} ,那么我們就說 \boldsymbol{\phi} 是 q 的充分條件，或 q 是 \boldsymbol{\rho} 的必要條件.

2.充要條件.

(1)若 \scriptstyle{p\Rightarrow q} 且有 \boldsymbol{\rho}\nLeftarrow\boldsymbol{q} ,則 \boldsymbol{\rho} 是 q 的充分不必要條件.
(2)若 \scriptstyle{\dot{P}} \neq q 且有 \scriptstyle{\dot{P}} < q ,則 \boldsymbol{\phi} 是 q 的必要不充分條件.
(3)若 \scriptstyle{p\Rightarrow q} 且有 \scriptstyle{\dot{P}} < q ，即“ \scriptstyle\phi\overleftrightarrow{q} ，則 \boldsymbol{\rho} 是 q 的充分必要條件,簡稱充要條件.
(4)若 style P\neq q 且有 \boldsymbol{\rho}\nLeftarrow\boldsymbol{q} ，則 \boldsymbol{\rho} 是 q 的既不充分也不必要條件.

注意：若已知 \scriptstyle\phi\to q ，即 \boldsymbol{\rho} 是 q 的充分條件，那么同時 q 必定是 \boldsymbol{\rho} 的必要條件.在判定兩個命題的充要關系時，必須是在判定了“ _{p\Rightarrow q^{\prime}} "的真假之后再判定“ q{\Rightarrow}p "的真假，然后再說明充要性.

基礎訓練

1.“ (x+2)(x-3)=0 ”是“ x=-2 "的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

2.“ \chi=3 ”是“ x{<=slant}3^{\prime} 的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

3.“ x{<-2} 或 x{>=}3^{} ”是“ x{<-2} "的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

4.已知集合 A 和 B 滿足 A {=} B ，則“ x\inA ”是“ x\inB ”的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

5.“整數 \boldsymbol{a} 能夠被5整除”是“整數 a 的末位數字是5"的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

重難點突破

知識點充分、必要、充要條件的判斷

1.判斷的關鍵是要確定 \scriptstyle{p\Rightarrow q} 或 q{\Rightarrow}p 兩個命題的真假，然后根據充分性和必要性的定義去判定.

2.若已知 \scriptstyle{p\Rightarrow q} ,即 \boldsymbol{\rho} 是 q 的充分條件,同時 q 必定是 \boldsymbol{\rho} 的必要條件.

白三校生高考）“ x{>}0 且 _{y>0^{\prime}} ”是“ x y{>}0^{:} "的必要不充分條件.·

B【解析】因為 x>0 ,y>0\Rightarrow x y>0 ;但 x y>0\Rightarrow x>0 y>0 （有可能 x<0 ,y<0 ) ，所以“ x{>}0 且 y>0 ”是“ \scriptstyle{x y>0} ”的充分不必要條件.故選B.

【舉一反三】

1.“ x{<}3 ”是“ x{<}2 ，

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

2.若“ x^{2}-2x-8>0^{3} ”是“ x{<}m^{2} "的必要不充分條件，則 m 的取值范圍是

A. (4,+∞) B.\left[4,+∞\right) C.(-0,-2) D. (-∞,-2]

例2 (2021·江西三校生高考)若 a{>}1 ，則“ x{>=}a' 是“ x{>=}1^{\prime} "的充分不必要條件．·：（AB)

A【解析】因為 a>1 ，所以 * x{>=}a^{\mathfrak{w}}{\Rightarrow}^{\bullet}x{>=}1^{\mathfrak{ }} ；而“ x>=1^{\bullet}\Rightarrow^{\bullet}x>=a^{\prime} ，所以“ x{>=}a ”是“ x>=slant 1”的充分不必要條件.故選A.

【舉一反三】

1.若集合 A=\{ 2 ,a^{2} \} ,B=\{1 ,9 \} ，則“ \begin{array}{r}{\dot{A}\cap B=9}\end{array} ”是“ a=3 "的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

知 \boldsymbol{\rho} 是 q 的充要條件， q 是 s 的必要條件，那么 \boldsymbol{\dot{P}} 是 s 的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

3.若 1{<=slant}x{<=slant}2 是 x{>=}m 的充分不必要條件，則實數 m 的取值范圍是

A. (2,+∞) B.\left[2,+∞\right] C.(-∞,1) D.（-∞,1]

例3 2023\ * 江西三校生高考） x>2 是 x^{2}>4 的充分不必要條件. (AB)

A【解析】因為 x>2\Rightarrowx^{2}>4 ，而 x>2\Leftrightarrowx^{2}>4 ，如 x=-3 時， x^{2}>4 成立，但 x>2 不成立.故選A.

【舉一反三】

1.已知 a ,b {\in} {\mathbf{R}} ，則“ a{>}b^{\prime} "是“lga>lgb"的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

2.若 a {\mathbf{}},b {\in} {\mathbf{R}} ，則“ 2^{a}<2^ ”是“ a^{2}{<}b^{2} ”的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

3.“ x^{2}{>}4^{ \bullet} 是“ x^{3}<-8! "的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

例4 已知直線 a ,b 分別在平面 α*,β 內，則“直線 \boldsymbol{a} 和 b 相交”是“平面 α 和 β 相交"的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

A【解析】因為 a ,b 分別在平面 α ,β 內，若“直線 \boldsymbol{a} 和 b 相交”(根據平面的性質 2)\Rightarrow “平面 α 和 β 相交”；但“直線 \boldsymbol{a} 和 b 相交” \nLeftarrow “平面 α 和 β 相交”，因為 \boldsymbol{a} 和 b 還可能平行或異面.故選A.

【舉一反三】

1.已知直線 a ,b 分別在平面 α*,β 內，則“ {\dot{α}} // β^{\ast} 是“直線 a 與 b 平行或異面”的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

2.已知平面 α ,β 表示兩個不同的平面， ^{,m} 為 α 內的一條直線，則 α\botβ^{\ast} 是“m⊥β"的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

3.“ x=2kπ+(π)/(3)(k\in{\bf Z}) ”是“ \tan x=sqrt3 "成立的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

反思提煉

充分必要條件的常用判定方法.

(1)定義法： ① 分清條件和結論：分清哪個是條件,哪個是結論； ? 找到推式“ \scriptstyle{p\Rightarrow q} ”及“ q{\Rightarrow} \boldsymbol{\rho} "的真假； ③ 下結論：根據推式及定義下結論.

(2)集合法：寫出集合 A=\{x | p(x)\} 及 B=\{x | q(x)\} ，利用集合之間的包含關系加以判斷.用集合法判斷時要盡可能借助韋恩圖、數軸、直角坐標系等，形象直觀，能簡化解題過程，降低思維難度.

(3)邏輯運算法：用邏輯運算來判斷充要條件，當問題中已經給出了若干個條件和結論，判斷其充要關系時，應根據已知條件畫出推式圖，從圖中尋求推式的傳遞性，得出結論，

(4)等價法：將命題轉化為另一個等價的又便于判斷真假的命題，再去判斷.

達標檢測

1.“ \boldsymbol{x}=-\boldsymbol{y}^{\prime} ”是“ |x|=| y | ”的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

2.“ x{>}3 ”是“ |x|>3^{!} ”的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

3.“ \operatorname{x}-6\operatorname{=}0 ”是“ (x-6)(x+5)=0^{5} "的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

4.“ * a+b 是偶數”是“ a ,b 都是奇數”的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

5.在△ABC中， \because\angle B<\angle C ? A C{<}A B^{\prime} 的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

6.已知函數 f(x) 的定義域為R,則“ f(x) 為偶函數”是“ f(-2)=f(2) ”的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

7.“ \chi{<}3^{;} ”是“ x{<}a ”的充分不必要條件，則實數 \boldsymbol{a} 的取值范圍是

江西省職教高考數學復習指導用書

參考答案

第一章 集合與充要條件

1.1集合的概念及集合之間的關系

※基礎訓練※

1.C【解析 ±b{10} 由于小于8的正整數包括1,2，3，4，5，6，7，它們是確定的對象，所以它們可以組成集合； ② 由于好看沒有具體的標準，對象是不確定的，因此不能組成集合； ③ 方程 x^{2}-25=0 的解是5和一5，它們是確定的對象，所以可以組成集合； \circled{4} 解不等式 2x+4{<}16 ，得 x{<}6 ，它們是確定的對象，所以可以組成集合；\circled{5} 因為“√3的近似值"不具有確定性，所以不能構成集合； \circled{6} 由于2024年巴黎奧運會的比賽項目是確定的對象，所以可以組成一個集合，綜上所述，可以構成集合的個數為4.故選C.

2.C【解析】該題考查集合的定義及元素的性質，根據集合元素的性質.故選C.

(2) \{ 7 ,-7 \} 或 \{x\vert\mid x\mid=7\} 【解析】集合元素的個數較少，適合采用列舉法，也可以用描述法.
(3) \{x\vert x{<=slant}3 【解析】元素的特征性質通過解不等式可以得到.解不等式 2x+1<=slant7 得 _{x<=slant3} ，所以不等式的解集是 \{x\vert x{<=slant}3\}
(4) \{ 2 ,4 ,6 ,8 ,*s\} 或 \{x | x=2k ,k\in\mathbf{Z}_{+} }【解析】當集合為元素很多的有限集或為無限集時，可以在花括號內只寫出幾個元素，其他元素用省略號表示，需要注意，寫出的元素要讓人明白省略號表示了哪些元素；本題也適合用描述法，正偶數的特征性質是都能寫成 2k(k\in\mathbf{Z}_{+} ).

4.3【解析】解方程 x^{2}-5x+6 {=} 0 ，得 x_{1}=2 ， x_{2}=3 ,所以 A {=} \{ 2 ,3 \} ,A 的真子集為： \varnothing \{ 2 \}*\{ 3 \}

5.，E，，=，E，【解析】吳，， = ,是用來表示集合與集合之間關系的符號；而 \in ，，是用來表示元素與集合關系的符號.

知識點1元素與集合的關系

【例1】【舉一反三】

1.A【解析】根據集合元素的互異性，可得 a+2\neq3 ，所以實數 \boldsymbol{a} 的取值范圍是 \{a\vert a\ne1\} .故選A.
2.B【解析】因為 M=\{x | x>1 \} ,5>1 ,\{ 5 \} 是集合， M 也是集合，集合與集合之間的關系符號是 \subseteq 2、≤、= .故選B.
3.A【解析 \mathbf{\Delta}\mathbf{J}B=\{1,2,3\} ,2. 3 不是 B 中的元素.故選A.
4.B【解析】元素與集合之間的關系用： \in 和，而 \left\{ \left( 2,-3 \right) \right\} 是集合， P 也是集合，集合與集合之間的關系用≤、2、、、 = .因為集合 P=\{ (x,y) | x>0 ,y<0 \} 是點集，元素是點，點的特征是橫坐標是正數，縱坐標是負數.因為點 ( 2 ,-3 ) 是集合 P 的元素，所以 (2,-3)\in P ，或 \{ ( 2 ,- 3 ) \}\subseteq P 故選B.

知識點2集合之間的關系

【例2】舉一反三】

1.A【解析】由 x-2>=slant0 得 x>=slant2 ，所以 B 中的元素3，4，5都是 A 中的元素.故過
2.A【解析】根據各符號的用法，只有 A 正確.故選A.
3.D【解析 \mathbf{1}A=B ，則 m-1=2 ,解得 m=3 .故選D.
4.C【解析】因為 A{\subseteq}B ，所以 A 的元素都要在 B 中，故 a{\overset{<}{\widehat{\mathbf{α}}}}3. 故選C.
5.D【解析】在數軸上畫出集合 A 和 B ，知 B{\overset{\underset{\rightharpoondown}{\subset}}{\neq}}A. 故選D.

【例3】舉一反三】

1.【解】（1)根據兩邊之和大于第三邊和兩邊之差小于第三邊，故第三邊為2到12之間的所有實數，第三邊可取的整數為有限個，可用列舉法表示為 \{ 3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 \} (2)因為在平面直角坐標系內，第一、二象限的點無窮多，但它們都具有一個共同的特征：縱坐標是正數，且橫坐標不等于0，故可以用描述法表示為 \{(x,y) | y{>}0 ,x{\neq}0 \}

2.【解】可以表示為 \left\{x\vert x={(1)/(2n)},n\right. 是正整數， n{<=slant}5\}

※達標檢測※

1.D【解析】：較好，一些,無窮大都沒有具體的標準,不具有確定性,所以選項A,B,C中的對象都不能構成集合.故選D.

2.A【解析】由 2x-4<0 ，得 \mathit{x}{<}2,\therefore{√(2)}\in A,0\in A,2.\;3\notin A,π\notin A. 故選A.

3.C【解析】 \{\{1,2\}\subseteq\{2,1\} ,\{\} ,\{\} ,\}=\{2,1\} ,\odot\emptyset\subseteq\{1\} 正確，0是元素， \varnothing 是集合，不能用 = ,應該是0Q.故選C.

4.C【解析】由 {x^{2}}=9 ，得 x=±3, 故選C.

5.C【解析 \mathbf{1}① 根據元素的互異性，故 ① 錯； ② 因為兩個集合中的元素均為被3除余1的所有整數，所以兩個集合相等,故②對;③{直角三角形或鈍角三角形}是簡略形式,故③對;①解方程組{2十2=5得 得=1 \displaystyle{\binom{x=1}{y=2}} 元素的一般形式是 (x,y) ，故 \circledast 對.故選C.

6.;;;E; =

7. (1) \left?1,-3\right? 【解析】由題知 x=1 是方程的解，將 x=1 代人方程，得 1+2-a=0 ,解得 a=3 ，所以方程為 x^{2}+2x-3=0 ,解得 x=1 或 x=-3 ,所以 A {=} \{1,-3\}

（2)7【解析】符合條件的集合 A 有 \{a\} ,\{a,b\} ,\{a ,c\} ,\{a ,d\} ,\{a ,b,c\} ,\{a ,c ,d\} ,\{a ,b,d\} .

1.2集合的運算

※基礎訓練※

1.15【解析】由集合的補集運算可知： :A=\{ 0 ,1 ,2 ,3 \} ，所以集合 A 有 2^{4}-1=15 個真子集.

2.D【解析】因為 M\cap N=\{ 2 \} ，所以 2\inN,a-2=2 ，解得 a=4 故選D.

3.D【解析】因為 \complement_{U}B=\{x | x>=2 \} ，所以 A\bigcap( \complement_{U B} )=\{ x \vert 2{<=slant}x{<=slant}5 \} .故選D.

4.C【解析】借助數軸知 A\bigcup B{=}\{x | {-}2{\ll}x{\ll}5\}\bigcup\{x | x{<}3\}=\{x | x{\ll}5\} .故選C.

5.【解】解方程組{+y=2, 得 \binom{x=4}{y=-2} ，所以 A\cap B{=}\{ (4 ,- 2) \} x-y=6

※重難點突破※

知識點1集合的交集

【例1】舉一反三】

1.B【解析】根據交集的概念，借助數軸，知 A\cap B{=}\{ 2 ,3 ,4 \} .故選B.

2.D【解析】 A\cap B=\{ 2,5 \} ,\therefore5\inA ,\therefore a=5. 故選D.

【例2【舉一反三】

1.C【解析】借助數軸如圖所示

所以 A\cap B=\{x | -1{<}x{<}2 \} .故選C.

2.【解】解方程組 \scriptstyle{\left\{\begin{array}{l l}{2x+y=1}\\ {x-2y=5}\end{array}\right.} 得 \left\{{\begin{array}{l}{x=(7)/(5)}\\ {y=-(9)/(5)}\end{array}}\right. 所以 A\bigcap B{=}\left\{((7)/(5),-{(9)/(5)})\right\}

知識點2集合的并集

【例3】舉一反三】

1.C【解析 \mathbf{1}A\cup B 中含有元素5，6，7，8，A中含有5，7，B中必有6，8，即 \displaystyle a+1=8 ,a=7. 故選C.
2A【解析】借助數軸表示如圖所示，

故選A.

3.B【解析】因為 A=\{x | 2{<=slant}x{<}5\} B{=}\{x | 3x{-}15{>=slant}5{-}2x\}=\{x | x{>=slant}4 ，借助數軸分析如圖所示：

A\cup B=\{x | x\inA 或 x\inB \}=\{x | x>=2 \} .故選B.

知識點3集合的補集

【例4【舉一反三】

1.A【解析 ±b{1} 因為全集 U=\{x\inZ | 1<x<=slant10 \}=\{ 2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 \} ，集合 A=\{ 2,3,4 \} , B= {2,3,4,5,6}，所以 \complement_{U}A=\{5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 \} \complement_{U}B=\{7,8,9,10\} ，所以 \complement_{U}A\supseteq\complement_{U}B .故選A.

2.A【解析】因為全集 {\cal U}{=}{\bf R} ，集合 A{=}\{x|1{<}x{<}3\} B{=}\{x|{-}1{<}x{<}4\} ，所以 \complement_{U}A=\{x\mid x{<=slant}1 或 x{>=}3 ; [_{\scriptscriptstyle U}B =\{x | x{<=slant}-1 或 x{>=slant}4 ， \complement_{U}A\supseteq\complement_{U}B. 故選A.

【例 5\mathbf{1}\mathbf{1} 舉一反三】

1. \{-2,-1,0 ,1,2 ,4 ,5\} 【解析】因為 U=\{x\inN|\;{-2<x<6}\}=\{ 0,1,2,3,4,5 \}\;,B=\{ x\inZ |\;|\;x |<3\}= \{-2,-1,0,1,2\} ,由交集和補集的運算性質可知， \{\zeta_{U}A=\{0,4,5\} ,( \ell_{U}A)\bigcup\Delta=\{ -2,-1,0,1,2,4,5\}

3.D【解析】 \left[\left[{\bf\Lambda}_{U}B\left(\left.{\bf\Lambda}_{\left[(\bf\Lambda)/(\Lambda)\right]}\right)\left(\left.{\bf\Lambda}_{\left[U}B\right)\right)=\{x | 3<=x\ll4\}\right.\right] .故選D.

※達標檢測※

1.A【解析 \mathbf{1}A=\{-1,2,5,8,*s\} ,*s A\cap B=\{-1,2,5\} .故選A.

2.6【解析】由并集的運算可知 a=6 ,a^{2}=36

4.B【解析】解方程組{" \left\{{x-2y=4\atop2x+3y=1}\right. 得 \left\{{\overset{x=2}{y=-1}}\right. ，所以 A\cap B{=}\{ (2,-1) \} .故選B.

5.B【解析】滿足條件 的集合 A 有 \{a\} ,\{b\} ,共2個.故選B.

6.甲： \complement_{U}(A\cup B) ；乙： \complement_{U}A\ D\cup B 【解析】由并集和補集的運算可知.

7.【解】在數軸上畫出集合 \complement_{U}A 和 \complement_{U}B ，如圖所以：

可知 \complement_{U}A\cap\ \complement_{U}B=\{x | x{<}{-} 2 或 x>6 \} \}\;\complement_{U}A\cup \complement_{U}B=\{x | x\ll0 或 x>=3 ；在數軸上畫出集合 A 和 B ，可知 A\bigcap B{=}\{x | 0{<}x{<}3 \} ,A\bigcup B{=}\{x | -2{<=slant}x{<=slant}6 \}

所以 \complement_{U}(A\cap B)=\{x | x{<=slant}0 或 x{>=slant}3 \}\;;\;\complement_{U} (A\bigcup B)=\{x | x{<}{-}2 或 x{>}6\} ：（注意：也可由公式 \complement_{U}(A\cup B)=\complement_{U}A\cap\complement_{U}B \complement_{U}(A\cap B)=\complement_{U}A\cup\complement_{U}B ，求 \complement_{U}(A\cup B) 和 \complement_{U}(A\cap B)

1.3充要條件

※基礎訓練※

1.B【解析】由 (x+2)(x-3)=0 ，得 x=-2 或 .x=3, 因為“ x=-2 或 x=3^{\mathfrak{s}}\Rightarrow^{\bullet}x=-2^{\mathfrak{z}} ”；而“ x=- 2 或 x= 3^{*}{\ll}^{*}x {=} {-} 2^{*} ，所以“ (x+2)(x-3)=0 ”是“ x=-2 "的必要不充分條件.故選B.

2.A【解析】因為“ ^{\prime}x=3^{ \ast}\Rightarrow^{\ast}x<=slant3^{ \ast} ；而“ x=3°\ll\astx<=slant3° .故選A.

3.B【解析】“ x{<-2} 或 x>3^{\mathfrak{w}}\Rightarrow^{\bullet\bullet}x<-2^{\mathfrak{w}} ，如 x=4 時， x<-2 或 x{>}3 "成立，但4不小于一2；而“ x<- 2或 x>3^{\mathfrak{s}}\Leftarrow*x<-2^{\mathfrak{s}} .故選B.

4.B【解析】因為 A{\=}B ，所以“ x\inA^{*}\Rightarrow^{*}x\inB^{*} ；而‘ \dot{\b{x}}\in\b{A}^{*}\Leftarrow\dot{\b{x}}\in\b{B}^{*} .故選B.

5.B【解】：末位數字為5的整數一定能被5整除，反之不一定成立.故選B.

《職教高考語文復習指導用書》
《職教高考數學復習指導用書》
《職教高考英語復習指導用書》
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