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解密職教新高考

四川省職教高考數學指導方略

（基礎版 O

解密職教 新高考

四川省職教高考數學指導方略

(基礎版)

主編：李富明 張露梅
副主編：關鍵楊先繼 周雪梅 杜坤剛
編者：陳懷銀 杜慧芳 廖萍 李剛劉邵林 劉婷婷 歐陽靜璇 何昌全何玲 沈劍輝 稅晴 曾子桔張志紅 卓志遠(按姓氏拼音順序排序)

圖書在版編目（CIP)數據

四川省職教高考數學指導方略／李富明，杜坤剛主編.上海：上海浦江教育出版社有限公司，2025.5（解密職校新高考系列叢書）.--ISBN978－7－81121-000-0

I中國國家版本館CIP數據核字第000000號

SICHUANSHENGZHIJIAOGAOKAOSHUXUEZHIDAOFANGLUE 四川省職教高考數學指導方略

上海浦江教育出版社出版發行

社址：上海海港大道1550號郵政編碼：201306E-mail: cbs@shmtu. edu. cn URL: http://www. pujiangpress. com上海商務聯西印刷有限公司印裝幅面尺寸： 210\mm{x}297\mm 印張：32.5 字數：560千字2025年5月第1版2025年5月第1次印刷責任編輯：趙宏義封面設計：口口口定價：00.00元

前言

在職業教育深化改革的浪潮中,數學作為培養理性思維與實踐能力的核心學科,不僅是升學考試的敲門磚，更是職業發展的鋪路石。本書作為數學學科的總復習指南，旨在幫助同學們系統梳理知識脈絡,夯實基礎,提升解題能力,為升學考試和職業發展筑牢根基。

本書《解密職教新高考四川省職教高考數學指導方略(提升版)》以國家規劃教材高等教育出版社的中職《數學(基礎模塊)》的上下冊和中職《數學(拓展模塊)》的知識體系為框架,依據《中等職業學校數學課程標準》、《四川省對口招生考試大綱》的內容,結合中等職業學生的實際學情進行編寫；全書由集合與簡易邏輯、不等式、函數、指數函數與對數函數、三角函數、數列、向量、解析幾何、立體幾何、概率與統計初步、統計十一個章節構成,每個章節設置【考情幫】【教材幫】【考法幫】【作業幫】和【測試幫】,具體欄目亮點如下：

考情幫,考題概覽,明確核心考點。
教材幫,解讀核心考點，做好知識儲備。
考法幫,精講精析考法，傳授解題通法,提升解題能力。
高分幫，深挖職教新高考難點熱點，掃除疑難困惑，攻克高分難題。
作業幫，分層系統訓練，檢測復習效果。
測試幫，模擬考場環境，有效解決考場新問題。

特別研發“AI學習助手系統”，掃描圖書專屬二維碼即可解鎖 ① 錯題整理，平時做錯題可以勾選放入錯題本，打印反復重新練習； ② 在線刷題，客觀題可在手機反復刷題練習，錯題自動進入錯題本； ③ 課件資源，可以查看與教材配套的課件資源； ④ 詳解資源，可以查看圖書配套的詳解資源。

數學是思維的體操，更是打開科學大門的鑰匙。愿本書成為同學們攀登知識高峰的階梯,在復習中感受數學之美，在探索中收獲成長喜悅。衷心祝愿每一位學子在考試中取得優異成績，在未來的人生道路上勇闖佳績！

本書的編寫團隊匯聚了行業精英和一線骨干教師，他們憑借豐富的教學經驗和深厚的專業功底，確保了本書內容的準確性和權威性。同時，我們也充分考慮了中職學生的特點和需求,力求使本書的內容既全面系統又貼近實際,既注重基礎知識的鞏固又強調解題能力的培養。由于水平有限,時間緊,難免有不足之處,敬請廣大師生批評指正,提出寶貴意見,我們將竭盡全力,不斷完善。

我們衷心希望這套“指導方略”能夠成為您備考路上的得力助手，陪伴您度過這段充滿挑戰和機遇的時光。我們相信，在您的努力和我們的幫助下，您一定能夠取得優異的成績，實現自己的升學夢想。

祝您考試順利，前程似錦！

本書編寫組委員會2024年6月

目錄

知識梳理和課后作業

第1單元集合與簡易邏輯 (001) (285)第 ^1 講集合及表示法 (001) (285)第2講集合與集合的關系 (005) (287)第3講集合的運算 (008) (288)第4講充要條件 (012) (290)第2單元不等式 (016) (291)第5講不等式的基本性質 (016) (291)第6講解一元二次不等式 (020) (292)第7講解含絕對值不等式 (024) (293)第8講不等式的實際應用 (027) (294)第3單元函數 (030) (295)第9講函數的概念及其表示法 (030) (295)第10講函數的單調性 (037) (298)第 11講函數的奇偶性和周期性 (045) (301)第12講二次函數 (050) (303)第13講函數的簡單應用， (057) (305)第4單元指數函數與對數函數 (068) (310)第14講 實數指數冪 (068) (310)第15講指數函數· (074) (312)

第16講對數· (080) (314)第17講 對數函數· (080) (314)第5單元 三角函數 (085) (316)第18講任意角和弧度制 (085) (316)第19講任意角三角函數 (091) (318)第 20講同角三角函數的基本關系 (096) (320)第21講誘導公式 (101) (322)第22講三角函數的圖像與性質 (107) (324)第23講和差倍半角公式， (116) (326)第24講 解三角形· (122) (328)第6單元數列 （127) (330)第25講數列的概念 (127) (330)第26講等差數列· (132) (332)第27講 等比數列·. (136) (334)第7單元 向量 (145) (338)第28講 第28講平面向量的概念和線性運算 （145） (338)平面向量的坐標表示和坐標運算…· (151) (340)第 30講向量的內積運算 (155) (342)第8單元 解析幾何 (162) (344)第31講直線的傾斜角與斜率 (162) (344)第32講直線的方程， (167) (346)第33講 圓的方程 (172) (348)第34講直線與圓的位置關系 (176) (350)第35講 第35講橢圓 橢圓 (182) (352)第36講雙曲線 (187) (354)第37講 拋物線 (192) (356)第9單元立體幾何 （197) (358)第38講 多面體 (197) (358)

第39講旋轉體 (203) (360)第40講直觀圖與三視圖 (210) (363)第41講空間直線與直線的位置關系 (216) (365)第 42講空間直線與平面的位置關系 (222) (368)第43講空間平面與平面的位置關系· (227) (368)第10單元 概率與統計初步·. (236) (373)第44講 兩個計數原理·. (236) (373)第45講排列與組合 (240) (375)第46講二項式定理 (244) (378)第47講隨機事件與概率 (248) (379)第 48講統計初步 (254) (382)第 49講隨機變量及其概率分布 (262) (385)第11單元 復數· (279) (391)第50講復數的概念 (279) (391)第51講復數的計算及應用· (282) (392)

單元測試卷

第1單元集合與簡易邏輯測試卷 (393)第2單元不等式測試卷（A)· (397)第2單元不等式測試卷(B) (401)第3單元函數測試卷(A)· (405)第3單元函數測試卷(B)· (413)第4單元指數函數與對數函數測試卷(A) (417)第4單元指數函數與對數函數測試卷(B) (421)第5單元三角函數測試卷(A)· (425)第5單元三角函數測試卷(B) (433)

第6單元數列測試卷(A)· (441)第6單元數列測試卷(B)· (445)第7單元向量測試卷 (449)第8單元解析幾何測試卷（A）·· (453)第8單元解析幾何測試卷(B) (457)第9單元立體幾何測試卷(A) (461)第9單元立體幾何測試卷(B)· (469)第10單元概率與統計初步測試卷(A) (477)第 10 單元概率與統計初步測試卷(B) (485)第11單元復數測試卷 (493)四川省高等職業院校單獨招生考試數學全真模擬卷(一) (497)四川省高等職業院校單獨招生考試數學全真模擬卷(二) (505)四川省高等職業院校單獨招生考試數學全真模擬卷(三) (513)

第1單元 集合與簡易邏輯

第1講 集合及表示法

考情幫 考情概覽精準預測

教材幫 讀透教材 融會貫通

考題自測

1.下列所給的對象能構成集合的是（ ）

A.2024屆的優秀學生
B.高二數學必修一課本上的所有難題C.某職業技術學校高一年級的所有男生D.比較接近1的全體正數

2.下列關于集合的表達式中,正確的是（ ）

3.設 P=\{x\vert x^{2}-2x-3<=slant0\} ， a={√(3)} ,則下列關

系中正確的是

A. a\subseteq P B. a\not\in P
C. \{a\}\subseteq P D. \left\{a\right\}\in{\cal P}

4.已知集合 A=\left\{x\mid x^{2}-3m x=0\right\} ，且 3\in A ，則m= ( ）

A.2 B.-2 C.-1 D.1

5.下列集合中是空集的是

A. \left\{0\right\} B. \{x\vert x^{2}+3=0\}
C. ?} D. \{(x,y)\}(x^{2}+2y^{2}=0\}

知識梳理

1.元素與集合的含義：一般地，由某些確定的對象組成的整體叫做集合，簡稱為集，組成這個集合的每一個對象都叫做這個集合的一個元素.

2.元素與集合只有屬于與不屬于的關系：

(1)若元素 \mathbf{α}_{a} 是集合 A 中的元素，則記作 a\in A ：

(2)若元素 \mathbf{\Delta}_{a} 不是集合 A 中的元素，則記作 a\not\in A

3.集合中元素具有三大特征（或稱為元素的三要素)

(1)確定性：集合中的元素必須是確定的，,不能模棱兩可

(2)集合中不能出現相同元素，即集合中的元素互不相同

(3)無序性：集合中的元素與順序無關.

任何集合都必須具備這三元素，缺一不可.

4.集合的表示法：

(1)描述法：把一個集合表示為 \{x\mid P \left(x\right)\big\} ，其中 x 表示元素， P(x) 表示元素 x 滿足的性質特征.

(2)列舉法：把元素放在（丨中，用逗號隔開 即 \{a_{1},a_{2},\ldots\colon\}

(3)特殊符號表示特殊集合：

① 整數集 Z ,正整數集 N^{*} 或 N_{+} ，自然數集 N ,有理數集 Q ,實數集 R.

② 空集：一個沒有任何元素的集合，叫做空集，記作？

5.集合的分類：

(1)從元素的個數分：根據集合里元素的個數是否有限，可以將集合分成有限集和無限集；

(2)從元素的性質分：

① 數集：由數構成的集合稱為數集.如方程的解構成的集合叫作方程的解集，不等式是解構成的集合叫作不等式的解決.

② 點集：由點構成的集合成為點集.如方程組的解構成的集合為點集.

注意：數集表示為 \left\{x\mid P(x)\right\},P(x) 表示元素 x 滿足的性質特征；而點集表示為\{(x,y)\:|\:F(x,y)\:\},F(x,y) 表示點 \scriptstyle({\boldsymbol{\mathbf{\mathit{x}}}},{\boldsymbol{\mathbf{\mathit{y}}}}) 滿足的性質特征.

考法幫 研透高考 明確方向

考法 1 判定元素與集合的關系

例1 已知下列關系：①(1)/(3)\in{\bf R};②√(3)\not\in{\bf Q};③|-3|\in{\bf N};④0\not\in{\bf N}^{*}. 其中正確的有 ( 0

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

【解析】 /13 是實數， ① 正確； √(3) 是無理數,不是有理數， ② 正確； \left|1-3\right|=3 ,是自然數， ③ 正

確；0是自然數，但不是正整數， ④ 正確.故選D.

【答案】D

【方法指導】注重考察元素的特征與集合的特征，培養同學們認真嚴謹的學習品質.

考法 2 集合中元素的三大性質

例2 下列對象能構成集合的是

A.很小的正數 B. \sin45° ， cos45° ， \sin60° ,cos60°

C.某中職二年級電子商務專業數學成績較好的學生D.平面內到 \triangle A B C 三個頂點距離相等的點

【解析】對于選項A，“很小的正數”，因為“很小”的標準不確定，所以不滿足集合中元素的確定性,故A錯誤；
對于選項B,由于 sin45°=cos45°={(√(2))/(2)} ，所以不滿足集合中元素的互異性,故B錯誤；對于選項C，“中職二年級電子商務專業數學成績較好的學生”，因為“較好”的標準不確定，所以不滿足集合中元素的確定性，故C錯誤；
對于選項D,“平面內到 \triangle A B C 三個頂點距離相等的點”，是△ABC外接圓的圓心，滿足集合的定義，故D正確.

【答案】D

【方法指導】集合中的元素的特征是我們研究元素是否能構成集合的依據，因此，深入題意挖掘元素特征是解決問題的關鍵；元素具有確定性是本題的解題關鍵.

考法 3 集合的表示法

例3用適當的方法表示集合

(1)方程組 \scriptstyle{\left\{\begin{array}{l l}{2x-y=3}\\ {6x-5y=11}\end{array}\right.} 的解構成的集合.
(2)平面坐標系中，第二象限的點構成的集合；
(3)方程 x^{2}=16 的解構成的集合；
(4)大于0而不大于9的有理數的集合；

【解】（1）解方程組得 \displaystyle\binom{x=1}{y=-1} ，用列舉法表示

為 \{\:(1,-1)\}

(2)滿足條件的點有無限個，用描述法表示為 \{(x,y)\:|\:x<0,y>0\} ：
(3)方程 x^{2}=16 的解為4和-4,用列舉法表示為 \{-4,4\} ：
(4)大于0而不大于9的有理數有無限個，用描述法表示為 \{x|0<x<=slant9,x\in Q\} ，
【方法指導】根據題意的描述確定元素的特征，進而選擇相對準確或簡單易懂的表示方法，體現對數學知識描述的理解.一般情況下,沒有特別說明，主要研究數集.

考法

數的值

根據元素與集合的關系，求參

例4已知集合 A=\{m+2,2m^{2}+m\} ,若 3\in A ， 則 m 的值為

【解析】由題意得 \scriptstyle m+2=3 或 2m^{2}+m=3 ,解
之,得： m=1 或 m=-{(3)/(2)}.
當 m=1 時， m+2=3 且 2m^{2}+m=3 ,根據集合
中元素的互異性,不滿足題意；
當 m=-(3)/(2) 時， m+2=(1)/(2) ，而 2m2+m=3,符合
題意，故 m=-{(3)/(2)}.

【答案】 -{(3)/(2)}

【方法指導】分類討論是一種重要的數學思想方法，注意掌握.本題易錯點：沒有根據元素的互異性進行驗證，在解題中特別注意避免過失性錯誤.

作業幫 分層訓練檢測結果

課堂作業

1.下列對象不能構成集合的是 （

A.上海的小河流
B.2008年北京奧運會所有金牌運動員
C.所有小于10的偶數
D.中國的四大名著

2.方程組 \left\{{\begin{array}{l}{x+2y=8}\\ {x-y-5=0}\end{array}}\right. 的解集是

A. (4,2) B.(4,2)} C. (6,1) D.(6,1)}

3.已知 \boldsymbol a\in\mathbf{R} 且 a\not\in Q ，則 \mathbf{α}_{a} 可以是（

A. 3. 14 B.-5 C.T D.{(1)/(5)}

4.已知集合 \begin{array}{r c l}{A}&{=}&{\{-1,0,1\}}\end{array} ， \begin{array}{r l}{B}&{{}=}\end{array} \{y|y=|x|,x\in A\} ,則集合 B 用列舉法可表示為

5.已知集合 P=\{x\mid a x^{2}-2x+8=0,x\in\mathbf{R}\} 中，-1\in P 則實數 \mathbf{α}_{a} 的取值是

課局作業

請課下完成單獨成冊的對應課時的課后作業.

第2講 集合與集合的關系

考情幫

考情概覽精準預測

教材幫 ·讀透教材 融會貫通

考題自測

1.已知集合 M=\left\{x\mid x^{2}=9\right\} ， N 為自然數集,則下列結論正確的是 （）

A. \{3\}=M \mathbf{B}.3\subseteq M
C. \{-3\}\subseteq M \ensuremath{\mathbf{D}}.M\subseteq N

2.已知集合 A=\left\{x\in N|-7<4x<7\right\} ,則集合 A 的所有真子集的個數是 ）

A.3 B.1 C.4 D.2

3.若 \{x\mid x+1=0\}=\{x\mid a x^{2}-2x-3=0\} ，則 \scriptstyle a= ( )

A.-1 B.-5 C.1 D.5

4.已知集合 A=\{x\mid x<=slant5\} ， B=\{x\mid x<=slant-a- 7}，若 A\subseteq B ,則實數 \mathbf{α}_{a} 的取值范圍是 Y

A. a<=slant-12 B. a<-12
C. a>=slant12 D. a{>}12

5.已知集合 A=\left\{a,0\right\} ,集合 B=\left\{-1,0,a^{2}-\right. 2}，且 A\subseteq B ,則實數 \mathbf{\Delta}_{a} 的值為

知識梳理

1.子集：集合 A 中的任一個元素都是集合 B 的元素，就稱集合 A 是集合 B 的子集，記作 A\subseteq B （或 B\supseteq A )，讀作“A包含于 B ”（或“ B 包含A”).

2.真子集：若集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B 中至少有一個元素不屬于 A ，就稱集合 A 是集合 B 的真子集，記作 A\subsetneq B(B\supsetneq

A)，讀作“A真包含于 B ”（或“ B 真包含A").

3.集合相等：若兩個集合 A 和 B 互為子集，即兩個集合的元素完全相同，就稱這兩個集合相等，記作 A=B

4.幾個重要的結論：

(1)空集是任意一個集合的子集,是任意一個非空集合的真子集.

(2)任意一個集合是其本身的子集.

(3）若一個集合有 n 個元素，則其有 2^{n} 個子集，有 (2^{n}-1) 個非空子集， (2^{n}-1) 個真子集， (2^{n}-2) 個非空真子集.

5.關于子集和真子集，還可以用韋恩圖來表示.

考法幫

研透高考 明確方向

考法 法1 判定集合與集合的關系

例1 已知集合 M=\{x\mid x^{2}-3x+2=0\} ， P= {0,1,2},則集合 M 與 P 的關系是（ ）

A. M=P \begin{array}{c}{{{\bf B}.M\in{\boldmath P}}}\\ {{{\bf D}.M\supseteq P}}\end{array}
C. M\subseteq P 【解析】解方程 x^{2}-3x+2=0 得： x=1 或 x= 2,則集合 \scriptstyle M=\{1,2\} ：
因為 1\in M 且 1\in P,2\in M 且 2\in P ,所以 M \subseteq{\boldsymbol{P}} ；

【答案】B

【方法指導】1.判斷兩個集合的關系，若集合條件可以計算，則先計算，再判斷.2.集合與集合之間的關系只能用“ \backslash\subseteq,\supseteq ，\subset_{\neq},\supsetneq,= ”表示，不能用“ \r\in\r_{\r} ，”表示；3.判斷集合與集合之間的關系時，符號開頭朝向元素多的集合；

考法 2 子集、真子集的個數問題

例2已知集合 P=\{0,1,2\} ， Q=\{0,2,4\} ,若 M\subseteq P,M\subseteq Q ,則滿足上述條件的集合 M 的 個數是

【解析】分類討論.

若集合 M 中沒有元素，即： M=\emptyset ，滿足題意；

若集合 M 中只有一個元素，則 M=\{0\} 或{2},滿足題意；

若集合 M 中有兩個元素，則 \scriptstyle M=\{0,2\} ，滿足

題意.
所以，滿足條件的集合 M 有4個.

【答案】4個

【方法指導】求集合的子集數量時，若元素較少，可以一個一個列出來；注意不要漏列；若元素較多，可運用公式求解；

考法 3 集合的相等

例3已知集合 A=\left\{1,2x-1\right\} ， B=\left\{1,2\right\} ,若A=B ,求實數 x 的值.

【解】由題意集合 A=\left\{1,2x-1\right\} ， B=\left\{1,2\right\} ，且 A=B ,所以 2x-1=2 ,解得 x=(3)/(2)

【方法指導】兩個集合相等，即兩個集合的元素完全相同，運用此條件可以得到等量關系；注意集合元素未知量多時，要檢驗.

考法 4 已知集合關系，求參數范圍

例4集合 A=\{x\mid x>3\} ， B=\{x\mid x>2a-1\} ，若 B\subseteq A ,則實數 \mathbf{α}_{a} 的取值范圍是 ( ）

A. \scriptstyle a<=slant2 B. a<2
C. a{>}2 \DeltaD.a>=slant2

【解析】已知集合 A=\left\{x|x>3\right\} ， B=\{x\vert x>2a -1\big\} ，若 B\subseteq A ,所以 2a-1<=slant3 ,解得 \scriptstyle a<=slant2

【答案】A

【方法指導】若條件為 B\subseteq A ，則 B 是 A 的一個子集.

作業幫 ·分層訓練檢測結果

課堂作業

1.給出的六個關系式：(1)0\in\{0,1\};(2)\bigotimes=\{0\};(3)\bigotimes\subseteq \{0\}\{3(4)\}0\}\subseteq\{0,1\}. 其中表述正確的是

2.集合 A=\{a,b,c,d\} 的非空真子集的個數為

3.若 \{a,0,1\}=\{a^{2},a,0\} ,則實數 \mathbf{\Psi}_{a} 的值為

A.-1 B.0
C.1 D.-1或1

4.設集合 A=\left\{x<3\right\} ， B=\{x\mid x<a\} ,若 B \subseteq{A} ，則 \mathbf{α}_{a} 的取值范圍是 ( ）

A. \{a\mid a>=3\} B. \{a\vert a<3\}
C. \{a\vert a{>}3\} D. \{a\vert a<=slant3\}

課局作業

請課下完成單獨成冊的對應課時的課后作業.

第1章 集合與簡易邏輯

第1講 集合及表示法

1.若集合 P=\left\{x\mid_{x<=slant{√(2024)}},x\in\mathbf{N}\right\} ， \scriptstyle{p=4{√(2)}} ,則有

A. p\in P 1 \upbeta.\left\{p\right\}\in P C.\{p\}\subseteq P D. p\notin P

2.下列集合是無限集的是

A. \{x\vert x=2k+1,k\in Z\} B. \{1,-2\} C. \{x\vert x^{2}-2x+1<=slant0\} 一 \scriptstyle\left\{\left.x\right|-8<x<=slant3,k\in Z\right\}

3.下列集合中是空集的是

A. \left\{0\right\} \mathbf{B}.\{\left(\mathbf{\nabla}x,y\right)\mid x^{2}+y^{2}+5=0\}
C. \{x\mid x^{2}-2x-2=0\} D. \{\emptyset\}

4.已知集合 A=\left\{1,-x,2x^{2}+1\right\} ,集合 B=\{1,3x^{2}\} ,若 3\in A 且 3\in B ，則 x 的值為（

A.1或-1 B.-1 C.1 D.2

5.用性質描述法表示所有偶數集：

6.已知集合 A 中有三個元素2，4，6，當 a\in A 時，有 6{-}a\in A ，則 \mathbf{α}_{a} 的值為

7.在數軸上與原點距離不大于5的點表示的數的集合是

8.集合 {\cal M}=\{m\vert(12)/(2m-1)\in{\bf N},m\in{\bf N}\} 用列舉法表示

9.已知集合 A=\{x\mid a x^{2}-2x-3=0\} ,其中 a\in\mathbf{R}. 若-1是集合 A 中的一個元素，試用列舉法表示集合 A

10.用適當的方式表示下列集合：

(1)方程 3x-15=0 的解；

(2)大于-5小于10的所有整數；

(3)方程組 \left\{{\begin{array}{l}{x-2y=3}\\ {x+2y-7=0}\end{array}}\right. 的解；

第2講 集合與集合的關系

1.下列說法正確的是(

A. Q\subseteq Z B.N\subseteq R\qquadC.N{\supseteq}Q 一 \boldsymbol{)}.\boldsymbol{Z}\in\mathbf{N}^{*}

2.若集合 A=\left\{\begin{array}{l l}{x}&{|}\end{array}\right|-4<x<8\} ， B=\left\{\begin{array}{l l}{x}\end{array}\right|-4<x<8 {\boldsymbol{x}}\in\mathbf{N}{\boldsymbol{\}} 則集合 A 與集合 B 的關系為 (

A. A=B B.B\subseteq A\qquadC.B\supseteq A D. B\in A

3.滿足 \{1,3\}\subseteq A\subseteq\{1,2,3,4\} 的集合 A 的個數為

A.8 B.7 C.4 D.3

4.已知集合 \boldsymbol{M}=\left\{-1,2\right\} ， N=\{-2,2,x\} ，若 M\subseteq N ,則實數 x 的值為

A.-1 B.2 C.-2 D.-1或2

5.若 \{1,2\}=\{x|x^{2}+b x+c=0\} ，則

A. b=2,c=-3 \mathbf{B}.b=3,c=-2
C. b=-2,c=3 D.\:b=-3,c=2

6.若集合 A=\left\{\begin{array}{r l}\end{array}\right.-\left.~1~,a\right\} ,集合 B=\{\ -\ 1,1,3\} ,且 A\subseteq B ,則實數 \mathbf{α}_{a} 的值為

7.設集合 A=\left\{x|-1<=slant x<2\right. 且 \boldsymbol{x}\in Z\} 的真子集的個數是

8.已知集合 A=\left\{x\mid x^{2}+2x-3=0\right\} B=\left\{x\vert x+a=0\right\} ，且 B\subseteq A ，則 \mathbf{α}_{a} 的取值范圍是（

A. \{a|a=-1 或 a=31 B. \{a\vert a=-3\} C. \{a|a=-3 或 a=1\nmid D *\{a\vert a=1\}

9.寫出集合 A=\{a,b,c\} 的子集和真子集.

10.已知集合 A=\{x\mid a x^{2}-3x+2=0\} 的子集只有兩個，求(1)實數 \mathbf{α}_{a} 的值(2)集合A.

11.設集合 A=\{x\vert x^{2}+4x-5<=slant0\} ， B=\left\{\begin{array}{l l}{x}&{\vert\quad x<2a+3\vert}\end{array}\right. ,若 A\subseteq B ,求 \mathbf{\Delta}_{a} 的取值范圍？

第3講 集合的運算

1.已知集合 A=\{1,3\} ， B=\left\{1,2,m\right\} ,若 A\cap B=\{1,3\} ,則 A\cup B=

A.{1,2} B.{1,3} C.{1,2,3} D.{2,3}

2.（2021年四川省統招第1題)設集合 P=\{-1,0\} ， Q=\{0,1,2\} ，則 P\cup Q=

A.{0} 上 \left.\begin{array}{l}{\displaystyle3.}\end{array}\right\{-1,0\big\} C.{0,1,2} D. \{-1,0,1,2\}

3.已知集合 A=\left\{\left({\begin{array}{l}{x,y}\end{array}}\right)\left.\left|3x-5y-1\right.1=0\right\} ， B=\left\{\begin{array}{r l}\end{array}\right.\left(x,y\right)\mid2x+y-3=0\right\} ,則 A\cap B=

A.2,-1} ~B.~\{x=2,y=-1\}\qquad~C.~\{~(~2,-1~)~\} D.(-2,1)}

4.設全集為 U{=}R ,集合 A=\{x\mid x>=slant5\} ,則書版無字符： 0x2201_{v}A=

A. \{x|x<5\} ~B.\left\{x|x{<=slant}5\right\}\qquad~C.\left\{x|x{>}5\right\} D.\{x\vert x>=slant5\}

5.某中職校數控專業共有100人,每人至少參加體育、攝影與文學三個社團中的一個.據統計，參加體育社團的有55人,參加文學社團的有56人,參加攝影社團的有51人，三個社團都參加的有15人，只參加體育與攝影兩個社團的有4人，只參加體育與文學兩個社團的有17人，問只參加攝影與文學兩個社團的有 人 （）

A.5 B.10 C.11 D.21

6.設集合 P=\{-1,1\} ， Q=\{0,1,2\} ,則 P\cup Q=

7.設集合 M=\left\{1,2,3\right\} ， N=\{2,5\} ，則 {\cal M}\cap{\cal N}=

8.已知集合 A=\{x|0<=slant x<=slant6\} B=\{x\mid-3<x<=slant3\} A\cup B= A\cap B=

9.已知集合 A=\left\{x|x<-3\right\} C=\left\{x\vert x<2a+3\right\} ，若 A\cap C=A ， 求 \mathbf{α}_{a} 的取值范圍

10.已知全集 U=\{1,2,3,4,5\} ,集合 M=\left\{1,2,3\right\} ， N=\{2,5\} ，則 (1)求 M\cap N 和 M\cup N (2)求 C_{\upsilon}M

11.已知全集 U{=}R ,集合 A=\{x|-5<x<5\} ” B=\{x|0<=slant x<7\} ,求：

(1)A\cap B ：(2)A\cup B ：(3)A\cup\complement_{v}B ：

第4講 充要條件

1.設 {\boldsymbol{x}}\in\mathbf{R} ，則“ x^{2}-5x{<}0^{,} ”是“ \left|{x{-}1}\right|<1^{\prime} ”的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

2.“等邊三角形”是“等腰三角形”的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

3.已知 \boldsymbol a\in\mathbf{R} ，則“ a<-2^{,} ’是“ a^{2}>4^{,\prime} 的

A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件

4.“ x^{2}-1=0 ”是“ x-1=0^{*} ”的 條件.

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

5.設 {\boldsymbol{x}}\in\mathbf{R} ，則“ 2x{-}1{<}3^{\prime} ”是“ 3x{-}6{<}0^{\prime} 的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

6.“ x{>}3^{\prime\prime} 是“ x{>}2 ”的 條件；（填“充分不必要”、“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).

7.“ 2x-1=3^{,,} 是“ \scriptstyle x^{2}=9 ”的 條件；（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）.

8.“ 2x+3<=slant0^{,} ’是“ 2x-6<=slant0^{,,} 的 條件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).

9.“三棱錐 P//B C 是正三棱錐”是“三棱錐 P-A B C 的底面為正三角形”的條件；（填“充分不必要”、“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).

10.若 p 是 q 的充分不必要條件， q 是 \boldsymbol{r} 的充要條件， s 是 \boldsymbol{r} 的必要不充分條件，則 p 是 \mathbf{\sigma}_{s} 的什么條件？

11.已知條件 p:x^{2}-5x+4<=0 ，條件 q:|x{-}2|<=slant1. 求條件 p 是條件 q 的什么條件？

第2章 不等式

第5講 不等式的基本性質

1.若集合 A=\left[-2,2\right] ， B=\left(0,+\varTheta\right) ，則 A\cup B=

A. [-2,9) B.(0,2] C.(-,2] D. [-2,+\square]

2.不等式組 \scriptstyle\left\{{\begin{array}{l}{\displaystyle{(x-3)/(2)}>-3}\\ {\scriptstyle\left(2x+1<7\right.}\end{array}}\right. 的解集為( ).

A. \varphi B. (-3,+\square) C.(-3,3) D.(-,3)

3.已知實數 \scriptstyle a,b,c,d 滿足： a{>}b{>}0{>}c{>}d ,則下列不等式一定正確的是

A. a+d>b+c \mathbf{B}.a d{>}b c C. a+c>b+d D. ac>bd

4.“ x=1 ”是“ \left(x-1\right)\left(x+1\right)=0 ”的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

5.若集合 M=(-2,7) ， N=[-5,5] ，則 {\cal M}\cap{\cal N}=

6.“ a{>}{-}4 ”是“ a{>}0^{\prime} 的 條件.

7.已知 2<a<4,-2<b<1 ，則 \scriptstyle a-b 的取值范圍是

8.求不等式 (2x+1)/(4)+1<=(2x-1)/(2) 的解集.

9.若 M=2x^{2}-3x+6,N=x^{2}-x+4 ,比較 M 與 N 的大小

第1章 集合與簡易邏輯測試卷

（滿分：100分）

一、選擇題：共10小題,每小題5分,共50分，在每小題列出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的.

1.（2019年四川)設集合 A=\{-2,2\} ， B=\{-1,2\} ，則 A\cup B=

A.[2 B.-2,1} C. \{-2,2\} D.-2,-1,2}

2.下列關系正確的是

A. 0\subseteq\{0\} {\bf{B}}.0\in\{0\} \mathbf{C}.0\in\mathbf{N}^{*} D. 0\in{O}

3.“ x=3 ”是“ x^{2}-5x+6=0^{,} ”的 條件.

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

4.已知集合 M=\left\{-1,1,4\right\} N 為自然數,則 {\cal M}\cap{\cal N}=

A. \varnothing B.{1,4} C. \{-1,1\} D.{-1,1,4}

5.已知集合 A=\left\mathbb{-1},0,1,2\right\sqcup,B=\left\lceil x\right\rceil-1<=slant x<=slant1\left\lceil\right\rceil 則 A\cap B=

A. 1,0,1 B.0,1 C.1,1 D.0,1,2

6.已知集合 A=\{-2,3x-1\} ， B=\left\{-4,-2\right\} ，若 A=B ,則實數 x 的值為

A.-2 B.2 C.1 D.-1

7.設集合 A=\{-1,2\} ， B=\left\{1,a\right\} ，且 A\cap B=\{2\} ，則 a=

A.-2 B.0 C.1 D.2

8.已知集合 A=\{(x,y)\mid x+4y=7\} ， B=\{(x,y)\mid x+2y=5\} ,則 A\cap B=

A. (1,3) B. (3,1) C.(3,1)} D.(1,3)}

9.已知集合 P=\{x|y={√(x+2)}\} ,集合 Q=\{y|y={√(x+2)}\} ，則 P 與 Q 的關系是

A. P{=}Q B.P\subseteq Q\qquadC.P\supseteq Q D.P\cap Q=\emptyset

10.若集合 A=\left\{x\vert0<x<1\right\} ， B=\left\{x\vert0<x<3\right\} ，則“ \scriptstyle x=2 ”是“ x\in B ”的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

二、填空題：本大題共3小題，每小題4分，共12分.

11.設全集為 U=\{1,2,3,4,5\} ，C _{U}A=\{2,3,5\} ， B=\{2,5\} ，則 A\cap({\left[\begin{array}{l}{}\\ {}\end{array}\right]})=

12.“圓心到直線的距離等于圓的半徑”是“直線與圓相切”的 條件.（填“充分不必要”、“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).

13.已知集合 {\cal U}={\bf R} ,集合 A=\left[-4,0\right) ,則C \upsilon A=\_ ：（用區間表示）

三、解答題：本大題共3小題,第14小題12分,第15、16小題各13分，共38分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

14.已知 U=\mathbb{Z}\left|-1<=slant x<10,x\in\mathbf{N}^{*}\right.\perp,A=\left\{\mathbf{\Omega}2,3,5\right\} ， B=\{1,2,5,6,7\} .求

(1)A\cap B ； (2)C \operatorname{}_{U}(A\cup B)

15.已知集合 A=\left\{x\mid x^{2}-x+p=0\right\} ， B=\left\{x\mid x^{2}-2x-q=0\right\} ,且 A\cap B=\left\{-2\right\} ，

(1)求實數 p,q 的值； (2)用列舉法求 A\cup\mathbf{B}

16.指出下列題中， p 分別是 q 的什么條件(1)P\colon^{*s}a\in\mathbf{Z}^{\prime\prime} \begin{array}{c}{{Q_{:}{}^{\ast}a\in\mathbf{N}^{\prime\prime}}}\\ {{Q_{:}{}^{\ast}x=1^{\prime\prime}}}\end{array} (2)P\colon^{*s}2x-1=1^{*s} (3)P ：“ x 是有理數” Q ：“ x 是實數”(4)P;{^{\ast}x=y}^{,\ast} Q:" \scriptstyle x^{2}=y^{2} ”

第2章 不等式測試卷(A)

（滿分：100分）

一、選擇題：共10小題，每小題5分，共50分，在每小題列出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的.

1.已知集合 A=\mathbb{-2},7\mathbb{-3}=\ 0,10\big\bot ，則 A\cap B=

A.0,7 B.0,7 C.2,10 D.2,10

2.已知 a{>}b ,則下面命題正確的是 ?

A.ac>bc \mathbf{B}.{(a)/(b)}{>}1 C * a{+}c{>}b{+}c D. (a)/(b)<1

3.已知 -4<a<7,-1<b<2 ，則 a+b 的取值范圍為

A.-9,16 B. ^{-5,9\sharp} C.-6,8 D.-6,11

2x-3>2 4.不等式組品………. 的解集為 口 x+5<9

A. (5)/(2),4\big\updownarrow B. (5)/(2),+∞[] C.-∞,4 P -∞,(5)/(2)[\cup\ 4,+∞]

5.不等式 x^{2}+3x-18>0 的解集為

A. ^{-∞,-3\bigcup\bigcup~6,+∞\bigcup~} B. ^{-∞,-6\boxed{rm{\cup}3,+∞}\boxed{rm{\cup}}}
C. ^{-3,6\sharp} D. ^{-6,3\perp}

6.已知集合 A=\perp x\mid~6-x\perp x+2\perp>0\perp,B=\perp-3,-2,-1,0,\perp, 則 A\cap B=

A. \varnothing B.-3 C.-1,0 D.-2,-1,0

7.不等式 \left|2x{-}3\right|>=slant11 的解集為 (

A. -∞,-11\cup\left[11,+∞\right] B.-∞0,-4U4,+∞ C. -∞,-7\cup\cup\cup,+∞\cup D.-,-4,+

8.設集合 A=\backslashx\in\mathbf{N}|-4<=slant x<=slant1\big\updownarrow. B=\left\lceil x\in\mathbf{N}\right\rceil\left|x-1\right|<=slant2\left\lceil ，則 A\cup B 中元素的個數是（）

A.2 B.4 C.6 D.8

9.已知 \mid x{-}b\mid{<}c(c{>}0) 的解集為-1,9,則 b c 的值為

A. 20 B.-20 C.9 D.-9

10.已知不等式 2x^{2}+b x+(1)/(8)<0 的解集為 \varphi ,則

A. b<=slant-1 或 b>=slant1 B. -1<b<1 C_{*}-1<=slant b<=slant1 D. b<-1 或 b{>}1

二、填空題：本大題共3小題，每小題4分，共12分.

11.若 ^{a,b} 為實數,且 \scriptstyle a>0>b ,比較下列實數的大小,完成填空a-b\qquad\quad0,a b\qquad\quad0,a+b\qquad\quad a-b.

12.不等式 -x^{2}-3x+10<0 的解集為

13.不等式 \left|1-2x\right|>=slant-1 的解集為

三、解答題：本大題共3小題，第14小題12分，第15、16小題各13分,共38分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

14.試比較 -x^{2}+2x 與 6x+5 的大小.

15.已知不等式 a x^{2}+b x+2>0 的解集為 [x|(1)/(2)<x<(2)/(3)] 求不等式 x^{2}+b x+a<=0 的解集.

16.已知： \scriptstyle:A=\left\lceil x\mid x^{2}-3x-18<0\right\rceil,B=\left\lceil x\mid x-a>=0\right\rfloor

(1)若 A\cap B=\emptyset ,求 \mathbf{α}_{a} 的取值范圍;

(2)若 A\subseteq B ，求 \mathbf{α}_{a} 的取值范圍.

第2章 不等式測試卷（B)

（滿分：100分）

一、選擇題：共10小題，每小題5分，共50分，在每小題列出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的.

1.已知集合 A=\ -4,2\d\Omega,B=\d\Omega,3\d\Omega ，則 A\cup B=

A. -4,3 B.0,2 C.-4,3 D.0,2

2.若 a{>}b ,則

A. a^{2}>b^{2} \mathbf{B},2a<2b C.a^{3}-b^{3}>0 D.lal>lbl

3.不等式 x+1\bigcirc\ x-2\bigcirc\bigcirc>0 的解集與下面不等組的解集相同的是

x+1>0 x+1>0 x+1<0
A. B. 或 x-2>0 x-2>0 x-2<0 x+1<0 x+1>0 x+1<0
C D. 且 x-2<0 x-2>0 x-2<0

4.已知 2<m<7,-1<n<3 ,則 m-n 的取值范圍為

A. ^{-2,9\perp} B.-1,8 C.0,13 D.1,10

5.不等式 \left|4x{-}1\right|{<}3 的解集為

A. -∞,-/12\bigcup~1~,+∞\bigcup~ B.-1,1 C.-∞,-1U 1,+∞ D -{(1)/(2)},1\big\[

6.不等式 -2x^{2}+x+3<0 的解集是 (

A.xlx<-1 \mathbf{B}.\left\lbrack\bar{x}\vert x{>}(3)/(2)\right\rbrack *\Bigl[x\vert x<-1 或 x>(3)/(2)[ CY

7.下列不等式中解集為 \varnothing 的是

A. x^{2}-2x+3>0 B. x-1\bigtriangledown^{2}<=slant0 C.\ |5x+7|+1<0\qquadD.\ (1)/(x^{2)}>0

8.已知 A=\scriptstyle\left\perp{x}\mid{x^{2}>=slant9}\right\perp,B=\scriptstyle\left\perp{x}\mid\mid\left\vert{x-4}\right\vert>1\mid\right\perp, 則 A\cap B=

A.R B.-∞,3U 5,+ C. -∞,-3\cup\cup\cup,+∞\cup D.-∞,-3\cup\ 5,+∞\sqcap

9.不等式 x^{2}+m x-n<0 的解集是-4,2\~,則 m+n 的值是

A.-2 B.2 C.10 D.-10

10.不等式-7 \displaystyle{(x-7)/(2x-5)<=slant0} 的解集為 C

A. -∞,(5)/(2)\bigcup\bigsqcup\bigsqcup,+∞\bigsqcup B. (5)/(2),7\perp {(\mathbb{S})/(\mathbb{Z)^{2}}},7_{\perp}^{\perp} D. -8 ,+8□

二、填空題：本大題共3小題，每小題4分,共12分.

11.不等式 4x^{2}-12x+9>0 的解集為

12.使得式子 √(\left|x-5\right|-3) 有意義的 x 的取值范圍為

13.如圖，在長為 20~m~ ，寬為 15~m~ 的矩形地面的四周種植花卉,中間種植草坪,如果要求花卉帶的寬度相同且草坪面積不超過總面積的 (1)/(2) ,那么花卉帶的寬度的取值范圍是(單位:m).

第13題圖

三、解答題：本大題共3小題，第14小題12分,第15、16小題各13分,共38分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

14.已知集合 M=\scriptstyle\perp x\mid x^{2}+2x-14<1\sqcup,N=\scriptstyle\perp x\mid\mid2x-3\mid<5\sqcup.

(1)求集合 M 和 N (2)若 a\in M\cap N ，求 2a{+}1 的取值范圍.

答案全解全析

知識梳理和單元練習

第1章集合與簡易邏輯

第1講集合及表示法

考題自測

1.【答案】B【解析】A.2024屆的優秀學生不確定，無法確定集合的元素，不能構成集合，故本選項錯誤；B.高二數學必修一課本上的所有難題不確定，無法確定集合的元素，不能構成集合，故本選項錯誤；C.某職業技術學校高一年級的所有男生，元素確定，能構成集合，故本選項正確.D.比較接近1的全體正數不確定，無法確定集合的元素，不能構成集合，故本選項錯誤；

2.【答案】C【解析】A.因為 0\in\{1,0\} ，因此此選項錯誤；B.因為-1不是集合 \{0,1\} 中的元素，因此此選項錯誤；C.因為1是集合 \{0,1\} 中的元素，因此此選項正確；D.因為集合與集合之間不能是 \in 關系，因此此選項錯誤，故選C.

3.【答案】C【解析】因為 P=\left\{\left.x\right|-1<=slant x<=slant3\right\},- 1<√(3)<3 ，所以 a\in P ,故選：C.

4.【答案】D【解析】由題設集合 A=\{x\mid x^{2}- 3m x=0\nmid ，且 3\in A,\therefore9-9m=0,m=1

5.【答案】B【解析】：方程無 x^{2}+3=0 實數解，. \{x\mid x^{2}+3=0\} 表示空集.故選：B.

課堂作業

1.【答案】A【解析】：小河流多小，無法確定，.. A 無法確定集合，：2008年北京奧運會所有金牌運動員，小于10的偶數，中國的四大名著是可以確定的,.. ^{B,C} ，D 可以構成集合.故選：A.

2.【答案】D【解析】由于方程組 \binom{x+2y=8}{x-y-5=0} 的解

\left\{{\begin{array}{l}{x=6}\\ {y=1}\end{array}}\right. 則方程組 style{\left\{\begin{array}{l l}{x+2y=8}\\ {x-y-5=0}\end{array}\right.} 的解集用列舉法表示為（6,1）}，故選D.

3.【答案】C【解析】因為 ,3.14,-5,(1)/(5) 都是有理數， π 是無理數,所以,選C.
4.{0，1}【解析】由題意， \left|-1\right|=\left|1\right|=1 ，所以 B= \{0,1\}

5.-10【解析】已知集合 P=\{x\mid a x^{2}-2x+8=0,x\in |\mathbf{R}\} 中， -1\in P ,所以 a+2+8=0,a=-10

課后作業

1.【答案】D【解析】因為 \scriptstyle{p=4{√(2)}} 不是自然數,而集合 P 是不大于 *√(2024) 的自然數構成的集合，所以 p\notin P ,選D.

2.【答案】A【解析】因為 \{1,-2\} 為2個元素，是有限集， \{x\vert x^{2}-2x+1<=slant0\}=\{1\} 是有限集， \left\{x\mid-\right. 8<x<=slant3,k\in\mathbf{N}\}=\{0,1,2,3,\} 是有限集， \{x\mid x= 2k+1,k\in\mathbf{Z}\} 為奇數集，是無限集，所以選 ~A~ o

3.【答案】B【解析】因為方程 x^{2}+y^{2}+5=0 無實數解,所以 \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}+1=0\} 表示空集.所以選B.

4.【答案】C【解析】· 3\in A 且 3\in B,\therefore3x^{2}=3 ，解得 x=1 或 x=-1 當 x=1 時 A=\left\{{1,-1,3}\right\} ， B=\left\{1,3\right\} 成立；當 x=-1 時， A=\{1,1,2\} ,不滿足集合元素的互異性,.. x=-1 （舍去）

5. \{x\vert x=2k,k\in\mathbf{Z}\}

6.【答案】2，4【解析】利用枚舉法分析.當 a=2 時， 2\in A ,有 6{-}2\in A ,滿足題意；當 a=4 時， 4\in A ,有 6{-}4\in A ,滿足題意；當 a=6 時， 6\in A ,有 6{-}6\notin A ,不滿足題意；所以， \mathbf{\Delta}_{a} 的值為2,4.

7. \{x\mid-5<=slant x<=slant5\} 【解析】在數軸上與原點距離不大于5的點表示的數的集合是 \{x\mid-5<=slant x<=slant5\} ，

8. \{1,2\} 【解析】因為若 m=1 (12)/(2m-1)=12 ;若 m=2 ， (12)/(2m-1)=4 ；,所以 M=\left\{0,1,2\right\}

9.【解】因為-1是集合 A 中的一個元素，所以-1是關于 \mathbf{\Psi}_{x}\mathbf{\Psi}_{x} 的方程 a x^{2}-2x-3=0 的一個根，所以有： ax(-1)^{2}-2x(-1)-3=0 ，解得： a=1 此時方程即為： x^{2}-2x-3=0 ，解這個方程，得： \mathbf{\Psi}_{;x_{1}}=-1,x_{2}=3 ，所以集合 A 用列舉法可表示為： A=\{-1,3\} ：

10.【解】（1){5} (2)\left\{x\mid-5<x<10,x\in\mathbf{Z}\right\} (3)由于方程組 \scriptstyle{\left\{\begin{array}{l l}{x-2y=3}\\ {x+2y-7=0}\end{array}\right.} 的解為 y=1則方程組\scriptstyle{\left\{\begin{array}{l l}{x-2y=3}\\ {x+2y-7=0}\end{array}\right.} 的解集用列舉法表示為（5,1）

第2講集合與集合的關系

考題自測

1.【答案】C【解析】由題設， M=\left\{-3,3\right\} ，而 N 為自然數集,則 -3\notinN,3\in\mathbf{N} 且 -3\in M,3\in M ， 所以， \{-3\}\subseteq M ,A、B、D不符合題意，C符合 題意.

2.【答案】A【解析】因為 A=\left\{x\in\mathbf{N}|-7<4x<\right. 7\}=\{0,1\} ,所以集合 A 的元素個數為2，因此集合 A 的所有真子集的個數是 2^{2}-1=3 ，故答案為：A

3.【答案】C【解析】因為 \{x\mid x+1=0\}=\{-1\}= \{x\vert a x^{2}-2x-3=0\} ,所以- *1\in\{x\mid a x^{2}-2x-3=0\} ，所以 a+2-3=0 ,所以 a=1 故選：C

4.【答案】A【解析】集合 A=\{x\mid x<=slant5\} ， B=\left\{x\vert\begin{array}{r l}\end{array}\right. x{<=slant}-a-7\} ,要使 A\subseteq B ，則 -a-7>=5 ,所以 a<=slant-12

5.【答案】2【解析】由分析知若 a=-1 ，則 a^{2}- 2=-1,B=\{-1,0,-1\} 不滿足題意；若 a=a^{2}-2 ， 則 a=2 或 a=-1 （舍去）； a=2 時， A=\{2,0\} ， B= \{-1,0,2\} 滿足題意.故答案為2

課堂作業

1.（1）（3）（4）【解析】根據集合之間的關系以及元素與集合的關系分析判斷即可.(1)0\in\{0,1\} ，表述正確；（2)空集是任何集合的子集， O=\{0\} ,表述錯誤；(3)空集是任何集合的子集， O\subseteq\{0\} ,表述正確；(4) \{0\}\subseteq\{0,1\} ,表述正確，故答案為：（1)(3)(4).

2.【答案】14【解析】根據非空真子集的定義即可求解.集合 A=\{a,b,c,d\} 的非空真子集的個數為 2^{4}-2=14. 故答案為：14.

3.【答案】A【解析】在 \{a,0,1\} 中， a\neq0 且 a\neq 1,而 \{a,0,1\}=\{a^{2},a,0\} ,則有 \scriptstyle a^{2}=1 ,解得 \scriptstyle a= -1,所以實數 \mathbf{α}_{a} 的值為－1.故選：A.

4.【答案】D【解析】集合 A=\left\{x<3\right\} ， B=\{x\mid x< |a? ，且 B\subseteq A ，則 a<=slant3

課后作業

1.【答案】B【解析】 N 表示自然數集， N^{*} 表示正整數集； Z 表示整數集， Q 表示有理數集， R 表示實數集,因為 Z\subseteq Q,N\subseteq R,N\subseteq Q,N^{*}\subseteq Z ，所以ACD不符合題意，B符合題意，故答案為：B.

2.【答案】B【解析】因為 A=\left\{x\vert-4<x<8\right\} ， B= x \mid-4<x<8,x\in\mathbf{N}\mid=\mid0,1,2,3,4,5,6,7\mid ，所以 B\subseteq A

3.【答案】C【解析】因為集合 A 滿足 \{1,3\}\subseteq A \subseteq\{1,2,3,4\} ，所以集合 A 中必有1,3,集合 A 還可以有元素2,4，滿足條件的集合 A 有：{1,3} {1,2,3}，{1,3,4}，{1,2,3,4}共有4個，故 答案為：C

4.【答案】A【解析】因為集合 M=\left\{-1,2\right\} ， N= \{-2,2,x\} ,若 M\subseteq N,\therefore x=-1 ，故選：A

5.【答案】D【解析】因為 \{1,2\}=\{x\mid x^{2}+b x+c= |0\} ,所以 1+2=-b,b=-3,1{x}2=c,c=2 ,故選：D

6.【答案】0或2【解析】根據 A\subseteq B 即可求解.集合 A=\left\{\begin{array}{r l}\end{array}\right.-\left.1,a\right\} ,集合 B=\{\ -\ 1,1,3\} ，且A\subseteq B,{\dot{*}}.a=1 或 a=3. 故答案為：1或3.

7.【答案】7【解析】解：因為集合 A=\left\{x|-1<=slant x<\right. 2且 x\in\mathbf{Z}{~} ，所以 A=\left\{-1,0,1,\right\} ，有3個元素，所以合 A 的真子集的個數是： 2^{3}-1=7. 故答案為7.

8.【答案】C【解析】因為 A=\{x\mid x^{2}+2x-3=0\}\ = \{1,-3\} B=\{x\mid x+a=0\}=\{x\mid x=-a\} 且 B\subseteq A ，

所以 a=1 或 a=-3

9.【解】集合 A 的所有子集為： \emptyset,\{a\},\{b\},\{c\} ，\{a,b\} ， \{a,c\} ， \{b,c\} ， \{a,b,c\} ；其中，除\{a,b,c\} 外,其他都是集合 A 的真子集.

10.【解】集合 A=\{x\mid a x^{2}-3x+2=0\} 的子集只有兩個,則集合 A 為單元素集,即方程 a x^{2}-3x+2=0 只有一個解.當 \scriptstyle a=0 時，方程 -3x+2=0 的解為 x=(2)/(3) ，此時集合 A=\left\{{(2)/(3)}\right\} 當 a\neq0 時， \Delta=b^{2}-4a c=9-8a=0,a=(9)/(8). 此時，{(9)/(8)}x^{2}-3x+2=0 x_{1}=x_{2}= (4)/(3) ，但集合 A 只有一個元素，因此集合 A =\left\{{(4)/(3)}\right\}. 故實數 \mathbf{α}_{a} 的值為0或 (9)/(8) 集合 A=\left\{{(2)/(3)}\right\} 或A=\left\{{(4)/(3)}\right\}.

11.【解】因為集合 A=\{x\vert x^{2}+4x-5<=slant0\}=\{x\vert- 5<=slant x<=slant1\ \backslash\ ,B=\ \{\ x\vert\}\ x<2a+3\ \backslash ，且 A\subseteq B ,所以2a+3>1 ,解得 \scriptstyle a>-1

第3講集合的運算

考題自測

1.【答案】B【解析】 M\cap N=\left\{2,4\right\} 2.【答案】B【解析】 M\cap N=\left\{2,3\right\} 3.【答案】D【解析】 M\cup N{=}\left\{1,2,3,5\right\} 4.【答案】C【解析】已知集合 A=\left\{-1,0,1\right\} ， B= \{x|x^{2}-1=0\}=\{-1,1\} ，則 A\cap B=\{-1,1\} 5.【答案】1【解析】因為集合 A=\left\{1,0\right\} ， B=\left\{-\begin{array}{l l}{\begin{array}{r l r}\end{array}}\end{array}\right. ^{1,a\dag} ，且 A\cap B=\left\{1\right\} ，則 a=1

課堂作業

1.【答案】D【解析】因為集合 M=\left\{1,2\right\},N= {0,1,2,3}，所以 M\cup N=\{1,2\}\cup\{0,1,2,3\}= \{0,1,2,3\} ,故選D.

2.【答案】B【解析】 X\cap Y=\{-1,0,1\}\cap\{1,2\}= {1},故選B.

3.【答案】C【解析】因為 A=\left\{x\mid x^{2}-3x<0\right\}=\left\{x\mid\right.

\scriptstyle0<x<3\} B=\{x\vert x<1\} ，所以 A\cap B=\{x\mid0<x<1\}

4.【答案】4【解析】由題意， a=4 或 a^{2}=16 ,解之 得， a=4 或 a=-4 ;經檢驗，得 a=4

5. \scriptstyle a>=2[ 解析】集合 _{A,B} 之間的關系如下圖所示：

第5題圖

所以， a>=slant2 ，課后作業

1.【答案】C【解析】因為 A\cap B=\{1,3\} ，所以m=3 ,故 A\cup B=\{1,2,3\} ,選C.

2.【答案】D【解析】 P\cup Q=\{-1,0\}\cup\{0,1,2\}= \{-1,0,1,2\} ,故選D.

3.【答案】C【解析】因為 A=\{(x,y)\mid3x-5y- \left\lfloor1=0\right\rfloor,B=\left\{\left(x,y\right)\mid2x+y-3=0\right\} 所以 A\cap B=\{\left(x,y\right)\mid{\left\{\begin{array}{l l}{3x-5y-11=0}\\ {2x+y-3=0}\end{array}\right.}\}=\{\left(2,- 1)}

4.【答案】A【解析】因為全集為 U=R ,集合 A= \{x\vert x>=slant5\} ，所以C _{U}A=\{x\vert x<5\}

5.【答案】C【解析】設只參加攝影與文學兩個社團的有 x 人.根據題意，繪制如下Veen圖：

第5題圖

可知，只參加體育社團的學生人數為：55-17-15-4=19 .
只參加攝影社團的學生人數為： 51-15-4-x= 32\ –{x}
只參加文學社團的學生人數為： 56-17-15-x= 24-x. ：
所以，可得如下方程： \left(32-x\right)+x+\left(24-x\right)= 100-55,
解之，得： _{x=11} ,所以，只參加攝影與文學兩個社團的有11人.

6.【答案】 \{-1,0,1,2\} 【解析】因為集合 P=\left\{\begin{array}{r l r}\end{array}\right. -1,

1}， Q=\left\{0,1,2\right\} ，所以 P\cup Q=\{-1,0,1,2\}

7.因為集合 M=\left\{1,2,3\right\} N=\{2,5\} ，所以 {\cal M}\cap{\cal N}= {2}

【解析】利用交集、并集的定義進行運算，也可借助數軸求解.集合 A=\{x|0{<=slant}x{<=slant}6\} B=\left\{x\big|-3<x<=slant3\right\} ，、 \begin{array}{r}{.\ A\cup B=\{x\mid-3<x<=slant6\}\ ,\therefore A\cap B=\{x\mid0<=slant x<=slant3\}}\end{array} ，故答案為： \{x\mid-3<x<=slant6\} ， \{x\mid0{<=slant}x{<=slant}3\} ：

9.【答案】[-3,2]【解析】 A=\{x\mid x<-3\} ， C=\{x\} \scriptstyle x<2a+3\nmid 因為 A\cap C=A ，所以 A\subseteq C ,所喲 2a+ 3>=slant-3 ，解得 \scriptstyle a>=0

10.【解】已知全集 U=\{1,2,3,4,5\} ,集合 M=\{1 ，2,31, N=\{3,5\} ，則(1)M\cap N=\{3\} M\cup N=\{1,2,3,5\}\ ;(2)C_{v}M= {4,5}

11.【解】集合 _{A,B} 如下圖所示：

第11題圖

(1)A\cap B=\{x|0<=slant x<5\}
(2)A\cup B=\{x|-5<x<7\}
(3)因為 _{U}B=\{x\vert x<0 或 x>=slant7\} 所以， A uC {}_{U}B= \{x\vert x<5 或 x>=7\} ；

第4講充要條件

考題自測

1.【答案】B【解析】已知 \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in\mathbf{R} 時，當 a{>}0 且b{>}0 時可以推出 a+b>0 ,當 a+b>0 時,不能推出a{>}0 且 b{>}0 ，如 a=2,b=-1 滿足 a+b>0 ，但不滿足 a{>}0 且 b{>}0 ，所以“ a{>}0 且 {\mathit{b}}{>}0{}^{\prime\prime} 是“ a+b>0^{\prime\prime} 的充分不必要條件；

2.【答案】B【解析】已知 \boldsymbol{a}\in\mathbf{R} ，當 a>3 時可以推出 a^{2}{>}9 ,當 a^{2}>9 時，可得 a<-3 或 a>3 ，不能推出 a{>}3 ，所以“ a>3 ”是“ a^{2}>9 ”的充分不必要條件；

3.【答案】C【解析】當 sinα=(1)/(2) 時， α=(π)/(6){+}2kπ,k \mathbf{\Pi}\in\mathbf{Z} 或 α=(5π)/(6)+2kπ,k\in\mathbf{Z} ，即 α{=}(π)/(6) 一不一定成立；

當 α{=}(π)/(6) 時， sinα=(1)/(2) 定成立.故 sinα=(1)/(2) 三 α= 是(π)/(6) 的必要不充分條件.故選C.

4.【答案】D【解析】當 a=1,b=-1 時， a>b 成立，但 \left|a\right|>\left|b\right| 不成立，故充分性不成立；當 a=- ^{2},b=1 時， \mid a\mid>\mid b\mid 成立，但 a{>}b 不成立，故必要性不成立.故 a,b\in\mathbf{R} ，則“ a{>}b ”是“ \mid a\mid>\mid b\mid ”的既不充分也不必要條件.故選D.

5.【答案】A【解析】 \scriptstyle a,b,c,d 成等差數列,則 ^{a+} \scriptstyle d=b+c 成立，所以充分性成立，但必要性不成立，所以即故選A.

課堂作業

1.【答案】A【解析】已知 a\in{\bf R},2x-1>1 可化解為 x>1,3x+6>0 可化解為 \scriptstyle x>-2 ,當 _{x>1} 時， \scriptstyle x>-2 一定成立，當 \scriptstyle x>-2 時， x>1 不一定成立，所以2x-1>1 ”是“ 3x+6>0^{*} 的充分不必要條件，故選A.

2.【答案】B【解析】因為成都是四川省的一個地級市，所以如果甲在成都市，那么甲必在四川省，反之不成立，故選：B.

3.【答案】B【解析】當 x{>}1 時，得 0<(1)/(x)<1 ；當 0< (1)/(x)<1 時，得 x{>}1 ，所以“ x{>}1 ”是“ 0<(1)/(x)<1 ”的充要條件.故答案為：B.

4.【答案】D【解析】因為四邊形的內角和是360° ，內角和為 180° 的圖形是三角形，所以“一個圖形是四邊形”是“一個圖形的內角和為180° ”的既不充分也不必要條件；故答案為：D.

課后作業

1.【答案】B【解析】“ x^{2}-5x<0^{,,} 的解集是(0,5)， \left|{x-1}\right|<1 的解集是（0,2）， (0,5)\supseteq(0 ，2),.“ x^{2}-5x<0^{,*}\Leftarrow\"\mid x-1\mid<1^{,} .“ x^{2}-5x<0^{,} ，是“ \left|{x-1}\right|<1 ”的必要不充分條件.

2.【答案】A【解析】因為等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以“等邊三角形”是“等腰三角形”的充分而不必要條件，故選A.

3.【答案】B【解析】已知 \boldsymbol a\in\mathbf{R} ,當 a<-2 時可以推出 a^{2}>4 ，當 a^{2}>4 時，可得 a<-2 或 a{>}2 ，不能推出 a<-2 ，所以“ a<-2 ”是“ a^{2}>4 ”的充分不必要條件；

4.【答案】B【解析】因為 x^{2}-1=0 的解是 \scriptstyle x=±1 ，所以 x^{2}-1=0 不能推出 \scriptstyle x=1 ；而 x=1 時， x^{2}-1=0 成立，所以，“ x^{2}-1=0^{{:}} ”是“ x-1=0 ”的必要不充分條件.

5.【答案】C【解析】已知 a\in\mathbf{R},2x-1<3 可化解為 x<2,3x-6<0 可化解為 x<2 ，所以“ 2x-1<3^{\prime} ，是“ 3x{-}6{<}0° 的充要條件，故選C.

6.【答案】充分不必要條件【解析 \mathbb{I}\because\left(3,+∞\right)\subseteq (2,+∞) ... \displaystyle x>3^{\prime\prime}\Longrightarrow^{\ast}x>2 ”.“ x{>}3 ”是“ _{x>2} 3的充分不必要條件.

7.【答案】既不充分也不必要條件【解析】由2x-1=3 可解得 \scriptstyle x=2 ，由 \scriptstyle x^{2}=9 可得 x=±3 ,所以2x-1=3 ”是“ x^{2}=9 ”的既不充分也不必要條件；

8.【答案】充分不必要【解析】不等式 2x+3<=slant0 的解集為 A={\big(}-∞,-{(3)/(2)}{\big]} ,不等式 2x{-}6{<}0 的解集為 B=\left(-∞,3\right] ，所以“ 2x+3<=slant0^{**} 是“ 2x-6<=slant0^{\prime\prime} 的

充分不必要條件.

9.【答案】充分不必要條件【解析】：正三棱錐的底面是正三角形，且三條側棱相等，.底面為正三角形的三棱錐不一定是正三棱錐，：“三棱錐 P//B C 是正三棱錐”是“三棱錐 P-A B C 的底面為正三角形”的充分不必要條件.

10.【解】因為： p{\Rightarrow}q{\leftrightarrow}r{\Rightarrow}s ,即 p{\Rightarrow}s ,所以 p 是 s 的充分不必要條件.

11.【解】因為由 x^{2}-5x+4<=0 可得 \left(x-1\right)\left(x-4\right)<=slant 0,解得 1<=slant x<=slant4 .由 \mid x{-}2\mid<=slant1 可得 -1<=slant x-2<=slant1 ,解得 1<=slant x<=slant3 當 x 滿足 1<=slant x<=slant3 時，也滿足 1<=slant x<=slant4 ，反之不成立，所以“ x^{2}-5x+4<=0^{,,} 是“ \mid x-2\mid<=slant1 ”的必要不充分條件；條件 p 是條件 q 的必要不充分條件；

第2章 不等式

第5講不等式的基本性質

考點自測

1.【答案】A【解析】 M-N={\bigl(}3x^{2}-3x+7{\bigr)} — (2x^{2}-x+6)=x^{2}-2x+1=(x+1)^{2}>=slant0 ，選A.

解，. a=2 ：

4.【答案】（1,8）【解析】：1<y<2..2<2y<4-1<x<4,\therefore1<x+2y<8.

課后作業

1.【答案】D 【解析】畫數軸圖可知 A\cup B= [-2,+∞) ：

2.【答案】D 【解析 1\ *s\ c<d<0,\therefore\ c d>0,\therefore\ (c)/(c d)< (d)/(c d)<0 (1)/(d)<(1)/(c)<0,\therefore-(1)/(d)>-(1)/(c)>0 ，故 \left.a>b>\right. 0.;-{(a)/(d)}>-{(b)/(c)}. (a)/(d)<(b)/(c) 故選D.

3.【答案】B【解析】· 3x+2>=slant0.:x>=slant-{(2)/(3)},.* 選B.

4.【答案】D【解析】· *3<a<5,-2<b<1.\dot{.},1<a+b< 6,選D.

課堂作業

1.【答案】A【解析】 0{>}c{>}d.^{} ： c^{2}<c d ,故A對；令 a=2,b=1,c=-1,d=-2 可知 \scriptstyle a-c<b-d 與 a c< b d 都不成立,故B、C錯； a>b>0\therefore\ a b>b^{2} ，故D錯.

\begin{array}{r l r l}{\displaystyle2.<}&{{}>}&{>}&{{}}\end{array}

3.2【解析】由題意得 x=2 是方程 a x-3=1 的

2.【答案】C【解析】 \scriptstyle\left\{{(x-3)/(2)}>-3_{{\hat{I}}_{\mp}^{\boxplus}{x>3}\atop2x+1<7}{\binom{x-3}{x<3}}*s-3<x<\right.
3.選C.

3.【答案】C【解析】舉反例法：令 a=2,b=1 ，c=-1,d=-2 滿足 a{>}b{>}0{>}c{>}d ，但 \scriptstyle a+d=2-2=1- 1=c+d ,故A錯； \scriptstyle a d=2x(-2)=-4<1x(-1)=b c ，故B錯; a c=2x(-1)=1x(-2)=b d ,故D錯,選C.

4.【答案】A【解析】“ x=1^{\prime\prime}{\Rightarrow}^{*s}\left(x{-}1\right)\left(x{+}1\right)= \mathbf{0}^{\dag} ，但 \left(x-1\right)\left(x+1\right)=0 時， x=1 或 x=-1,\therefore “ (x-1) 1 \left(x+1\right)=0 ”？“ x=1 ”，：“ x=1 ”是“(x-1) \left(x+1\right)=0 "的充分不必要條件，選A.

5. (-2,5]

6.【答案】必要不充分條件【解析】“ a>-4^{\prime} ”？a{>}0^{>} ，但“ a{>}0^{>}\Longrightarrow^{\leftarrow}a{>}-4^{>} “ a{>}{-}4 ”是“ a{>}0 ，的必要不充分條件.

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